2017 年考研数学（一） 第 9 题

看到『求某点的高阶导数』且函数是 $\frac{1}{1+x^2}$ 这类能展成幂级数的，优先用泰勒展开而非硬求导——因为幂级数系数 $a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}$ 直接对应各阶导数。$\frac{1}{1+x^2}$ 是偶函数，展开式只含偶次幂，$x^3$ 的系数为 $0$，答案立现。

本题考查用幂级数（麦克劳林展开）求高阶导数。 利用展开式系数与各阶导数的对应关系。

由几何级数，当 $|x|<1$ 时
$$f(x)=\frac{1}{1+x^2}=1-x^2+x^4-x^6+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n{x}^{2n}.$$
展开式中只含 $x$ 的偶次幂，$x^3$ 的系数为 $0$。

又麦克劳林展开中 $x^3$ 的系数为 $\frac{f^{(3)}(0)}{3!}$，故 $\frac{f^{(3)}(0)}{3!}=0$，得 $f^{(3)}(0)=0$。

（也可由 $f(x)$ 为偶函数知 $f^{(3)}(x)$ 为奇函数，故 $f^{(3)}(0)=0$。）