2017 年考研数学（一） 第 10 题

常系数齐次线性方程是『特征根法』的模板题：$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=0$ 对应 ${\lambda }^2+p\lambda +q=0$，根的三种情形各有固定通解形式。本题 $\Delta =4-12<0$ 得复根 $-1\pm \sqrt{2}\mathrm{i}$，套复根通解公式即可，关键是别把实部 $\alpha =-1$ 与虚部 $\beta =\sqrt{2}$ 认错位置。

本题考查二阶常系数齐次线性微分方程的通解。 写出特征方程，按根的类型写通解。

特征方程为 ${\lambda }^2+2\lambda +3=0$，判别式 $\Delta =4-12<0$，解得一对共轭复根
$${\lambda }_{1,2}=\frac{-2\pm \sqrt{-8}}{2}=-1\pm \sqrt{2}\mathrm{i}.$$

对应 $\alpha =-1,\beta =\sqrt{2}$，故通解为
$$y={\mathrm{e}}^{-x}\left(C_1\cos \sqrt{2}x+C_2\sin \sqrt{2}x\right)(C_1,C_2\text{ 为任意常数}).$$