2017 年考研数学（一） 第 11 题

平面曲线积分『与路径无关』的标准判据是 $\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$（区域单连通）。这里区域 $x^2+y^2<1$ 内分母非零且单连通，条件成立。于是对 $P,Q$ 求偏导并令其相等，得到 $2axy=-2xy$——把它看成对区域内一切 $(x,y)$ 都成立的恒等式，比较系数立得 $a$。

本题考查平面曲线积分与路径无关的条件。 在单连通区域 $D$ 内，${\int }_{L}Pdx+Qdy$ 与路径无关的充要条件是 $\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$。

这里 $P=\frac{x}{x^2+y^2-1}$，$Q=-\frac{ay}{x^2+y^2-1}$。分别求偏导：
$$\frac{\partial P}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2-1{)}^2},\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{2axy}{(x^2+y^2-1{)}^2}.$$

令 $\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$，即 $2axy=-2xy$ 对区域内一切点成立，得 $a=-1$。

（注：在 $D$ 内 $x^2+y^2-1<0$，分母不为零，被积表达式在 $D$ 内处处有定义且 $D$ 单连通。）