2017 年考研数学（一） 第 12 题

幂级数求和的核心手法是『逐项求导/积分』，把它转化成会求和的几何级数。看到系数 $n$ 与 $x^{n-1}$ 搭配，立刻想到 $n{x}^{n-1}=(x^n{)}^{\prime }$，于是原级数是 $\sum (-1{)}^{n-1}{x}^n=\frac{x}{1+x}$ 的导数。『先凑成可求和形式、再求导（或先积后求和）』是这类题的通用套路。

本题考查幂级数求和（逐项积分/求导法）。 利用 $n{x}^{n-1}=(x^n{)}^{\prime }$，把级数与已知几何级数联系起来。

当 $|x|<1$ 时，
$$S(x)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}n{x}^{n-1}={\left[\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}{x}^n\right]}^{\prime }.$$
而 $\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}{x}^n=\frac{x}{1+x}$（首项 $x$、公比 $-x$ 的几何级数）。

故
$$S(x)={\left(\frac{x}{1+x}\right)}^{\prime }=\frac{(1+x)-x}{(1+x{)}^2}=\frac{1}{(1+x{)}^2},x\in (-1,1).$$