2017 年考研数学（一） 第 13 题

关键是识别『像向量组的秩 = 矩阵的秩』：把三个像向量拼成 $\mathbf{A}\mathbf{P}$，其中 $\mathbf{P}=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3)$。因 ${\mathbf{\alpha }}_i$ 无关故 $\mathbf{P}$ 可逆，而『乘可逆矩阵秩不变』，问题就化为直接求 $r(\mathbf{A})$。抽象的 ${\mathbf{\alpha }}_i$ 只是唬人，实质只考 $\mathbf{A}$ 的秩。

本题考查矩阵乘积的秩。 把三个向量拼成矩阵，用 $r(\mathbf{A}\mathbf{P})$ 与 $r(\mathbf{A})$ 的关系求解。

记 $\mathbf{P}=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3)$，则 $(\mathbf{A}{\mathbf{\alpha }}_1,\mathbf{A}{\mathbf{\alpha }}_2,\mathbf{A}{\mathbf{\alpha }}_3)=\mathbf{A}\mathbf{P}$。因 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3$ 线性无关，故 $\mathbf{P}$ 可逆，从而
$$r(\mathbf{A}{\mathbf{\alpha }}_1,\mathbf{A}{\mathbf{\alpha }}_2,\mathbf{A}{\mathbf{\alpha }}_3)=r(\mathbf{A}\mathbf{P})=r(\mathbf{A}).$$

对 $\mathbf{A}$ 作初等行变换：
$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 1& 1& 2\\ 0& 1& 1\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 1& 1\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right),$$
得 $r(\mathbf{A})=2$。故所求向量组的秩为 $2$。