2017 年考研数学（一） 第 14 题

看到分布函数是几个正态 $\Phi$ 的凸组合，就要认出这是『混合分布』。混合分布的期望有简便性质 $E(X)=\sum w_{i}E(X_i)$，即各分量期望按权重加权。识别出两个成分的均值（$0$ 与 $4$）及权重（各 $0.5$），一步加权即得，避免对密度硬做积分。

本题考查混合正态分布的期望。 $F(x)$ 是两个正态分布函数的凸组合，可对分布函数求导得密度，再由对称性求期望；也可直接用期望的线性组合。

对 $F(x)$ 求导得密度
$$f(x)=0.5\phi (x)+0.5\cdot \frac{1}{2}\phi \left(\frac{x-4}{2}\right)=0.5\phi (x)+0.25\phi \left(\frac{x-4}{2}\right),$$
其中 $\phi$ 为标准正态密度。它相当于以概率 $0.5$ 取自 $N(0,1)$、以概率 $0.5$ 取自 $N(4,4)$ 的混合分布。

由期望的可加性（混合分布的期望等于各分量期望的加权和）：
$$E(X)=0.5\times 0+0.5\times 4=2.$$