2017 年考研数学（一） 第 15 题

多元复合函数求导就是『外层偏导 × 内层导数』的链式法则，难点在二阶导：对 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 再求导时，一阶偏导 $f_1^{\prime },f_2^{\prime }$ 本身还是 $u,v$ 的函数，必须再套一次链式法则。技巧是先写出一般表达式、最后再代 $x=0$——因为此时 $\sin x=0$ 能消去大量项，先代反而容易出错。

本题考查多元复合函数的一阶、二阶求导（链式法则）。 记 $u={\mathrm{e}}^x,v=\cos x$，注意 $x=0$ 时 $u=1,v=1$。用 $f_1^{\prime },f_2^{\prime }$ 表示 $f$ 对 $u,v$ 的一阶偏导，$f_{11}^{\prime \prime },f_{12}^{\prime \prime },f_{22}^{\prime \prime }$ 表示二阶偏导。

一阶导数。 由链式法则
$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f_1^{\prime }\cdot {\mathrm{e}}^x+f_2^{\prime }\cdot (-\sin x)={\mathrm{e}}^x{f}_1^{\prime }-\sin x{f}_2^{\prime }.$$
代入 $x=0$（此时 $u=v=1$，$\sin 0=0$）：
$${\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}|}_{x=0}=f_1^{\prime }(1,1).$$

二阶导数。 对上式再求导，注意 $f_1^{\prime },f_2^{\prime }$ 仍是 $u,v$ 的复合函数：
$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}={\mathrm{e}}^x{f}_1^{\prime }+{\mathrm{e}}^x({\mathrm{e}}^x{f}_{11}^{\prime \prime }-\sin x{f}_{12}^{\prime \prime })-\cos x{f}_2^{\prime }-\sin x({\mathrm{e}}^x{f}_{21}^{\prime \prime }-\sin x{f}_{22}^{\prime \prime }).$$

代入 $x=0$（$u=v=1$，$\sin 0=0,\cos 0=1$，且 $f$ 二阶连续偏导使 $f_{12}^{\prime \prime }=f_{21}^{\prime \prime }$）：
$${\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}|}_{x=0}=f_1^{\prime }(1,1)+f_{11}^{\prime \prime }(1,1)-f_2^{\prime }(1,1).$$