2017 年考研数学（一） 第 16 题

看到 $n$ 项和求极限、且通项含 $\frac{k}{n}$，首选『定积分定义（黎曼和）』：把 $\frac{1}{n}$ 认作 $\mathrm{d}x$、$\frac{k}{n}$ 认作 $x$，和式极限就是 ${\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x$。本题凑出 $f(x)=x\ln (1+x)$，剩下就是一个分部积分。识别 $\frac{1}{n}$ 这个『步长』是完成转化的关键。

本题考查用定积分的定义求 $n$ 项和的极限。 把和式凑成 $\frac{1}{n}\sum f\left(\frac{k}{n}\right)$ 的形式，其极限为 ${\int }_0^{1}f(x)dx$。

将 $\frac{k}{n^2}=\frac{1}{n}\cdot \frac{k}{n}$，得
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^n\frac{k}{n^2}\ln \left(1+\frac{k}{n}\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\frac{k}{n}\ln \left(1+\frac{k}{n}\right)={\int }_0^{1}x\ln (1+x)dx.$$

对定积分用分部积分（$\int xdx=\frac{1}{2}{x}^2$）：
$${\int }_0^{1}x\ln (1+x)dx=\frac{1}{2}{\int }_0^1\ln (1+x)d(x^2)=\frac{1}{2}{x}^2\ln (1+x){|}_0^1-\frac{1}{2}{\int }_0^1\frac{x^2}{1+x}dx.$$

其中 $\frac{x^2}{1+x}=x-1+\frac{1}{1+x}$，故
$${\int }_0^1\frac{x^2}{1+x}dx={\left[\frac{x^2}{2}-x+\ln (1+x)\right]}_0^1=\frac{1}{2}-1+\ln 2=-\frac{1}{2}+\ln 2.$$
因此
$${\int }_0^{1}x\ln (1+x)dx=\frac{1}{2}\ln 2-\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}+\ln 2\right)=\frac{1}{2}\ln 2+\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\ln 2=\frac{1}{4}.$$

所以原极限为 $\frac{1}{4}$。