2017 年考研数学（一） 第 17 题

隐函数求极值三步走：隐式求导得 $y^{\prime }$、令 $y^{\prime }=0$ 定驻点、二阶导定性。关键技巧在第三步——对含 $y^{\prime }$ 的等式再求导后，代入驻点条件 $y^{\prime }=0$，可消去含 $(y^{\prime }{)}^2$ 的项，使 $y^{\prime \prime }$ 表达式骤然简化。切记驻点处的 $y$ 值要代回原方程解出，不能漏。

本题考查隐函数求导与极值判定。 方程两边对 $x$ 求导求驻点，再用二阶导数判别极大、极小。

对 $x^3+y^3-3x+3y-2=0$ 两边关于 $x$ 求导：
$$3x^2+3y^2{y}^{\prime }-3+3y^{\prime }=0,y^{\prime }=\frac{1-x^2}{y^2+1}.$$
令 $y^{\prime }=0$ 得 $1-x^2=0$，即 $x_1=-1,x_2=1$。

求对应函数值：
- $x=-1$ 代入原方程：$-1+y^3+3+3y-2=0\Rightarrow y^3+3y=0\Rightarrow y=0$；
- $x=1$ 代入原方程：$1+y^3-3+3y-2=0\Rightarrow y^3+3y-4=0\Rightarrow y=1$。

对 $3x^2+3y^2{y}^{\prime }-3+3y^{\prime }=0$ 再关于 $x$ 求导：
$$6x+6y(y^{\prime }{)}^2+3y^2{y}^{\prime \prime }+3y^{\prime \prime }=0.$$
在驻点处 $y^{\prime }=0$，故 $6x+3(y^2+1)y^{\prime \prime }=0$，即 $y^{\prime \prime }=-\frac{2x}{y^2+1}$。

- 在 $(-1,0)$：$y^{\prime \prime }=-\frac{2(-1)}{0+1}=2>0$，故 $x=-1$ 为极小值点，极小值 $y=0$；
- 在 $(1,1)$：$y^{\prime \prime }=-\frac{2(1)}{1+1}=-1<0$，故 $x=1$ 为极大值点，极大值 $y=1$。