2017 年考研数学（一） 第 18 题

第（Ⅰ）问是零点定理的标准应用：用极限保号性造出一个 $f<0$ 的点，与 $f(1)>0$ 夹出根。第（Ⅱ）问的题眼是识别 $f{f}^{\prime \prime }+(f^{\prime }{)}^2=(f{f}^{\prime }{)}^{\prime }$，于是『证 $(f{f}^{\prime }{)}^{\prime }$ 有两根』转化为『证 $F=f{f}^{\prime }$ 有三个零点后用两次罗尔』。三个零点来自：$f(0)=0$（由极限存在推出）、（Ⅰ）的根 $x_0$、以及对 $f$ 用罗尔得到的中间点。构造辅助函数 $F=f{f}^{\prime }$ 是全题关键。

本题考查零点定理、罗尔定理与辅助函数的构造。 关键是识别 $f(x)f^{\prime \prime }(x)+[f^{\prime }(x){]}^2=[f(x)f^{\prime }(x){]}^{\prime }$。

（Ⅰ） 由 $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x)}{x}<0$ 及极限的保号性，存在 $\delta >0$，当 $x\in (0,\delta )$ 时 $\frac{f(x)}{x}<0$。因该区间上 $x>0$，故 $f(x)<0$。取定 $c\in (0,\delta )$，则 $f(c)<0$。

又 $f(1)>0$，$f$ 在 $[c,1]$ 上连续，$f(c)f(1)<0$，由零点定理，存在 $x_0\in (c,1)\subset (0,1)$，使 $f(x_0)=0$。即方程 $f(x)=0$ 在 $(0,1)$ 内至少有一个实根。

（Ⅱ） 令 $F(x)=f(x)f^{\prime }(x)$，则 $F^{\prime }(x)=f(x)f^{\prime \prime }(x)+[f^{\prime }(x){]}^2$，于是只需证 $F^{\prime }(x)=0$ 在 $(0,1)$ 内至少有两个不同实根。

先说明 $f(0)=0$：由于 $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x)}{x}$ 存在（有限），而分母 $x\to 0^{+}$，故分子必有 $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)=0$；又 $f$ 在 $[0,1]$ 上二阶可导（从而连续），所以 $f(0)=0$。结合（Ⅰ）得 $f(0)=0,f(x_0)=0$（$0<x_0<1$）。

对 $f$ 在 $[0,x_0]$ 上用罗尔定理，存在 $\xi \in (0,x_0)$，使 $f^{\prime }(\xi )=0$。于是
$$F(0)=f(0)f^{\prime }(0)=0,F(\xi )=f(\xi )f^{\prime }(\xi )=0,F(x_0)=f(x_0)f^{\prime }(x_0)=0,$$
即 $F$ 在 $0<\xi <x_0$ 三点处取值均为 $0$。

再对 $F$ 分别在 $[0,\xi ]$ 与 $[\xi ,x_0]$ 上用罗尔定理，存在 ${\eta }_1\in (0,\xi )$、${\eta }_2\in (\xi ,x_0)$，使 $F^{\prime }({\eta }_1)=F^{\prime }({\eta }_2)=0$。${\eta }_1\ne {\eta }_2$ 且均在 $(0,1)$ 内，故方程 $f(x)f^{\prime \prime }(x)+[f^{\prime }(x){]}^2=0$ 在 $(0,1)$ 内至少存在两个不同实根，证毕。