2017 年考研数学（一） 第 19 题

求薄片质量就是算第一类曲面积分 ${\iint }_S\mu \mathrm{d}S$。破题的两个化简点：一是在圆锥面上 $z=\sqrt{x^2+y^2}$，可把 $\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ 和 $\mathrm{d}S$ 都化成只含 $x,y$ 的量；二是投影区域 $x^2+y^2\le 2x$ 是偏心圆，天然适合极坐标 $r\le 2\cos \theta$。先降维成二重积分、再用极坐标，是曲面积分的常规路线。

本题考查空间曲线的投影与第一类曲面积分（求质量）。

（Ⅰ） 交线 $C$ 满足 $\{\begin{array}{l}z=\sqrt{x^2+y^2}\\ z^2=2x\end{array}$。消去 $z$ 得 $x^2+y^2=2x$。故 $C$ 在 $xOy$ 平面上的投影曲线为
$$L:\{\begin{array}{l}(x-1{)}^2+y^2=1,\\ z=0.\end{array}$$

（Ⅱ） 质量 $M={\iint }_{S}9\sqrt{x^2+y^2+z^2}dS$。在圆锥面上 $z^2=x^2+y^2$，故 $\sqrt{x^2+y^2+z^2}=\sqrt{2}\sqrt{x^2+y^2}$。

曲面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 的面积元：$z_x=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$，$z_y=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}$，
$$dS=\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}dxdy=\sqrt{2}dxdy.$$
投影区域 $D:(x-1{)}^2+y^2\le 1$，即 $x^2+y^2\le 2x$。

于是
$$M={\iint }_{S}9\sqrt{x^2+y^2+z^2}dS=9\sqrt{2}{\iint }_D\sqrt{x^2+y^2}\cdot \sqrt{2}dxdy=18{\iint }_D\sqrt{x^2+y^2}dxdy.$$

用极坐标，$D$ 为 $0\le r\le 2\cos \theta ,-\frac{\pi }{2}\le \theta \le \frac{\pi }{2}$：
$$M=18{\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}d\theta {\int }_0^{2\cos \theta }r\cdot rdr=18{\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}\frac{(2\cos \theta {)}^3}{3}d\theta =18\cdot \frac{8}{3}{\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}{\cos }^3\theta d\theta .$$

而 ${\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}{\cos }^3\theta d\theta =2{\int }_0^{\pi /2}{\cos }^3\theta d\theta =2\cdot \frac{2}{3}=\frac{4}{3}$，故
$$M=18\cdot \frac{8}{3}\cdot \frac{4}{3}=64.$$