2017 年考研数学（一） 第 20 题

第（Ⅰ）问从两头夹逼：不同特征值 ⇒ 可对角化且至多一个零特征值 ⇒ $r\ge 2$；列向量有线性关系 ⇒ $r<3$，故 $r=2$。第（Ⅱ）问抓住『列的线性组合就是 $\mathbf{A}$ 乘系数向量』：${\mathbf{\alpha }}_1+2{\mathbf{\alpha }}_2-{\mathbf{\alpha }}_3=0$ 给出齐次基础解系 $(1,2,-1{)}^{\mathrm{T}}$，$\mathbf{\beta }$ 的组合系数 $(1,1,1{)}^{\mathrm{T}}$ 给出特解。无需真解方程组，靠结构直接读出答案。

本题考查矩阵的秩与非齐次线性方程组的通解结构。

（Ⅰ） 因 $\mathbf{A}$ 有 $3$ 个不同的特征值 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3$，故 $\mathbf{A}$ 可相似对角化，存在可逆矩阵 $\mathbf{P}$，使 ${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P}=\mathrm{diag}({\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3)$。由于三个特征值两两不同，其中至多一个为 $0$，故 $r(\mathbf{A})\ge 2$。

又由 ${\mathbf{\alpha }}_3={\mathbf{\alpha }}_1+2{\mathbf{\alpha }}_2$ 知 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3$ 线性相关，故 $r(\mathbf{A})<3$。综合得 $r(\mathbf{A})=2$。

（Ⅱ） 因 $r(\mathbf{A})=2$，$\mathbf{A}\mathbf{x}=0$ 的基础解系含 $3-2=1$ 个线性无关解向量。由 ${\mathbf{\alpha }}_1+2{\mathbf{\alpha }}_2-{\mathbf{\alpha }}_3=0$，即 $\mathbf{A}\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -1\end{array}\right)=0$，故 $(1,2,-1{)}^{\mathrm{T}}$ 是 $\mathbf{A}\mathbf{x}=0$ 的基础解系。

又 $\mathbf{\beta }={\mathbf{\alpha }}_1+{\mathbf{\alpha }}_2+{\mathbf{\alpha }}_3=\mathbf{A}\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)$，故 $(1,1,1{)}^{\mathrm{T}}$ 是 $\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{\beta }$ 的一个特解。于是通解为
$$\mathbf{x}=k\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)(k\text{ 为任意常数}).$$