2017 年考研数学（一） 第 21 题

破题信号是『标准形缺了 $y_3^2$ 项』——正交变换下标准形的系数正是特征值，缺一项意味着 ${\lambda }_3=0$，即 $\det \mathbf{A}=0$，一步定出 $a$。之后是正交对角化的标准流程：求特征值、解特征向量、单位化。实对称矩阵不同特征值的特征向量本就两两正交，省去施密特正交化，直接单位化即可拼出 $\mathbf{Q}$。

本题考查二次型的正交变换化标准形（实对称矩阵的正交对角化）。

二次型矩阵为 $\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& -4\\ 1& -1& 1\\ -4& 1& a\end{array}\right)$，$f={\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mathbf{x}$。标准形只含 $y_1^2,y_2^2$ 两项，说明第三个特征值 ${\lambda }_3=0$，故 $|\mathbf{A}|=0$。

计算 $|\mathbf{A}|=\left|\begin{array}{ccc}2& 1& -4\\ 1& -1& 1\\ -4& 1& a\end{array}\right|=-3(a-2)=0$，得 $a=2$。

代入 $a=2$，求特征值：
$$|\lambda \mathbf{E}-\mathbf{A}|=\left|\begin{array}{ccc}\lambda -2& -1& 4\\ -1& \lambda +1& -1\\ 4& -1& \lambda -2\end{array}\right|=\lambda (\lambda +3)(\lambda -6)=0,$$
得 ${\lambda }_1=-3,{\lambda }_2=6,{\lambda }_3=0$。

求各特征值对应的特征向量（解 $(\lambda \mathbf{E}-\mathbf{A})\mathbf{x}=0$）：
$${\lambda }_1=-3:{\mathbf{\alpha }}_1=(1,-1,1{)}^{\mathrm{T}};{\lambda }_2=6:{\mathbf{\alpha }}_2=(-1,0,1{)}^{\mathrm{T}};{\lambda }_3=0:{\mathbf{\alpha }}_3=(1,2,1{)}^{\mathrm{T}}.$$
因 $\mathbf{A}$ 为实对称矩阵且特征值互异，${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3$ 两两正交，只需单位化。

单位化得 ${\mathbf{\gamma }}_1=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,-1,1{)}^{\mathrm{T}}$，${\mathbf{\gamma }}_2=\frac{1}{\sqrt{2}}(-1,0,1{)}^{\mathrm{T}}$，${\mathbf{\gamma }}_3=\frac{1}{\sqrt{6}}(1,2,1{)}^{\mathrm{T}}$，故正交矩阵
$$\mathbf{Q}=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{\sqrt{3}}& -\frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{6}}\\ -\frac{1}{\sqrt{3}}& 0& \frac{2}{\sqrt{6}}\\ \frac{1}{\sqrt{3}}& \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{6}}\end{array}\right),$$
在 $\mathbf{x}=\mathbf{Q}\mathbf{y}$ 下 $f=-3y_1^2+6y_2^2$。