2017 年考研数学（一） 第 22 题

这类『离散 + 连续』的独立之和，最稳的是用分布函数法而非卷积公式。以离散变量 $X$ 的取值做全概率分解：$F_Z(z)=\frac{1}{2}P\{Y\le z\}+\frac{1}{2}P\{Y\le z-2\}$，把问题拆成两个平移后的 $Y$ 分布。再按 $Y$ 的取值范围对 $z$ 分段，逐段求值得 $F_Z$，最后求导。分段的断点正来自两个平移区间 $(0,1)$ 与 $(2,3)$。

本题考查连续型随机变量的期望，以及离散型与连续型独立随机变量之和的分布。

（Ⅰ） 先求 $E(Y)={\int }_0^{1}y\cdot 2ydy=\frac{2}{3}$。于是
$$P\{Y\le E(Y)\}=P\left\{Y\le \frac{2}{3}\right\}={\int }_0^{2/3}2ydy={\left(\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{4}{9}.$$

（Ⅱ） 用全概率公式求 $Z=X+Y$ 的分布函数。由 $X,Y$ 独立，
$$F_Z(z)=P\{X+Y\le z\}=\frac{1}{2}P\{Y\le z\}+\frac{1}{2}P\{Y\le z-2\}.$$

分段讨论（$Y$ 取值于 $(0,1)$）：
- $z<0$：$F_Z(z)=0$；
- $0\le z<1$：$F_Z(z)=\frac{1}{2}{\int }_0^{z}2ydy=\frac{z^2}{2}$；
- $1\le z<2$：$F_Z(z)=\frac{1}{2}P\{Y\le 1\}=\frac{1}{2}$；
- $2\le z<3$：$F_Z(z)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}{\int }_0^{z-2}2ydy=\frac{1}{2}+\frac{(z-2{)}^2}{2}$；
- $z\ge 3$：$F_Z(z)=1$。

对 $F_Z(z)$ 求导，得 $Z$ 的概率密度
$$f_Z(z)=\{\begin{array}{ll}z,& 0<z<1,\\ z-2,& 2<z<3,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$