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2017 年考研数学（一）第 23 题

解答题 · 11 分

某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做

n

次测量，该物体的质量

μ

是已知的。设

n

次测量结果

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

相互独立且均服从正态分布

N (μ, σ^{2})

，该工程师记录的是

n

次测量的绝对误差

Z_{i} = ∣ X_{i} - μ ∣ (i = 1, 2, \dots, n)

。利用

Z_{1}, Z_{2}, \dots, Z_{n}

估计

σ

。

（Ⅰ）求

Z_{1}

的概率密度；

（Ⅱ）利用一阶矩求

σ

的矩估计量；

（Ⅲ）求

σ

的最大似然估计量.

提示 1

（Ⅰ）

Z_{1} = ∣ X_{1} - μ ∣

是随机变量的函数，用『先求分布函数、再求导』求密度；注意

Z_{1} \geq 0

，用对称性把

∣ \cdot ∣ \leq z

化成标准正态。

提示 2

（Ⅱ）矩估计：算出理论一阶矩

E (Z)

（含

σ

），令它等于样本均值

\overset{ˉ}{Z}

，反解

σ

。

提示 3

（Ⅲ）最大似然：写出似然函数

L = \prod f (z_{i})

，取对数后对

σ

求导并令其为零。

答案与详解

答案（Ⅰ） $f (z) = \frac{2}{σ} φ (\frac{z}{σ}) (z > 0)$ ，其余为 $0$ ；（Ⅱ）矩估计 $\overset{σ}{^} = \frac{π}{2} \overset{ˉ}{Z}$ ；（Ⅲ）最大似然估计 $\overset{σ}{^} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} Z_{i}^{2}$

思路（为什么这么做）

三小问各对应一个标准工具。求

Z = ∣ X - μ ∣

的密度用『分布函数法』：借

\frac{X - μ}{σ} \sim N (0, 1)

把绝对值事件化成

Φ

的差再求导。矩估计的思想是『用样本矩替换总体矩』，故算出

E (Z) = \frac{2 σ}{2 π}

后令其等于

\overset{ˉ}{Z}

。最大似然则是『取对数、求导、置零』的固定套路。识别每问该用哪个工具，是本题的关键。

解答

本题考查随机变量函数的分布、矩估计与最大似然估计。 记

φ, Φ

为标准正态的密度与分布函数。

（Ⅰ） 由

X_{1} \sim N (μ, σ^{2})

知

\frac{X _{1} - μ}{σ} \sim N (0, 1)

。设

Z_{1} = ∣ X_{1} - μ ∣

的分布函数为

F (z) = P {Z_{1} \leq z}

。当

z < 0

时

F (z) = 0

；当

z \geq 0

时

F (z) = P {\frac{X _{1} - μ}{σ} \leq \frac{z}{σ}} = Φ (\frac{z}{σ}) - Φ (- \frac{z}{σ}) = 2Φ (\frac{z}{σ}) - 1.

求导得

Z_{1}

的概率密度

f (z) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{2}{σ} φ (\frac{z}{σ}), 0, z > 0, z \leq 0.

即

f (z) = \frac{2}{2 π σ} e^{- z^{2} / (2 σ^{2})} (z > 0)

。

（Ⅱ） 求一阶矩

E (Z) = E ∣ X_{i} - μ ∣

：

E (Z) = \int_{0}^{+ \infty} z \cdot \frac{2}{σ} φ (\frac{z}{σ}) d z = 2 σ \int_{0}^{+ \infty} t φ (t) d t = \frac{2 σ}{2 π} \int_{0}^{+ \infty} t e^{- t^{2} /2} d t = \frac{2 σ}{2 π} .

令

E (Z) = \overset{ˉ}{Z}

，即

\frac{2 σ}{2 π} = \frac{1}{n} i = 1 \sum n Z_{i} = \overset{ˉ}{Z}

，解得

σ

的矩估计量为

\overset{σ}{^} = \frac{π}{2} \overset{ˉ}{Z} .

（Ⅲ） 似然函数（

z_{i} > 0

）为

L = i = 1 \prod n f (z_{i}) = \frac{2 ^{n}}{σ ^{n}} (\frac{1}{2 π})^{n} e^{- \frac{1}{2 σ ^{2}} (z_{1}^{2} + \dots + z_{n}^{2})},

ln L = n ln 2 - n ln σ - n ln 2 π - \frac{1}{2 σ ^{2}} i = 1 \sum n z_{i}^{2} .

令

\frac{d ln L}{d σ} = - \frac{n}{σ} + \frac{1}{σ ^{3}} \sum_{i = 1}^{n} z_{i}^{2} = 0

，解得

σ

的最大似然估计量为

\overset{σ}{^} = \frac{1}{n} i = 1 \sum n Z_{i}^{2} .

考点：矩估计、最大似然估计、随机变量函数的分布

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