2013 年考研数学（一） 第 4 题

四个积分被积表达式完全相同、只有曲线不同，这强烈暗示用格林公式把它们统一成『同一被积函数、不同区域』的二重积分，从而只需比较区域。算出的 $1-x^2-\frac{y^2}{2}$ 在一条椭圆线内为正、外为负，比较大小的直觉便是：区域应尽量覆盖正值区、避开负值区；逐个算出数值即可确认 $I_4$ 最大。

本题考查格林公式。 记 $P=y+\frac{y^3}{6}$，$Q=2x-\frac{x^3}{3}$，$D_i$ 为 $L_i$ 所围区域。由格林公式
$$I_i={\iint }_{D_i}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\iint }_{D_i}\left(2-x^2-1-\frac{y^2}{2}\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\iint }_{D_i}\left(1-x^2-\frac{y^2}{2}\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y.$$

逐个计算（用极坐标）：
$$I_1={\iint }_{x^2+y^2\le 1}\left(1-x^2-\frac{y^2}{2}\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\pi -\frac{3}{4}{\int }_0^{2\pi }\mathrm{d}\theta {\int }_0^1{r}^3\mathrm{d}r=\frac{5\pi }{8};$$
$$I_2={\iint }_{x^2+y^2\le 2}\left(1-x^2-\frac{y^2}{2}\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=2\pi -\frac{3}{4}{\int }_0^{2\pi }\mathrm{d}\theta {\int }_0^{\sqrt{2}}{r}^3\mathrm{d}r=\frac{\pi }{2}.$$

对 $D_3,D_4$ 作广义极坐标或直接计算，得
$$I_3=\frac{3\sqrt{2}}{8}\pi ,I_4=\frac{\sqrt{2}}{2}\pi .$$
数值比较：$I_1=0.625\pi$，$I_2=0.5\pi$，$I_3\approx 0.530\pi$，$I_4\approx 0.707\pi$。

因为 $I_4$ 最大，故 $\max \{I_1,I_2,I_3,I_4\}=I_4$，应选 D。