2013 年考研数学（一） 第 5 题

判断向量组『等价』就是看能否互相线性表示，所以要把矩阵等式解读成向量组之间的表示关系。$AB=C$ 中右乘 $B$ 是对 $A$ 的列作线性组合，只影响列向量组，且 $C$ 的列由 $A$ 的列表示——这一步就排除了所有关于行向量的选项。再用 $B$ 可逆得 $A=C{B}^{-1}$ 完成反向表示，故 $C$ 与 $A$ 的列向量组等价。

本题考查矩阵乘法与向量组的线性表示、等价。 关键：$\mathbf{AB}=\mathbf{C}$ 说明 $\mathbf{C}$ 的列是 $\mathbf{A}$ 的列的线性组合。

设 $\mathbf{B}=({\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_n)$，$\mathbf{C}=({\mathbf{\gamma }}_1,{\mathbf{\gamma }}_2,\cdots ,{\mathbf{\gamma }}_n)$。由 $\mathbf{AB}=\mathbf{C}$，即 $\mathbf{A}({\mathbf{\beta }}_1,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_n)=({\mathbf{\gamma }}_1,\cdots ,{\mathbf{\gamma }}_n)$，得 $\mathbf{A}{\mathbf{\beta }}_i={\mathbf{\gamma }}_i$，故 $\mathbf{C}$ 的列向量组可由 $\mathbf{A}$ 的列向量组线性表示。

又因 $\mathbf{B}$ 可逆，故 $\mathbf{A}=\mathbf{C}{\mathbf{B}}^{-1}$，即 $\mathbf{A}$ 的列向量组也可由 $\mathbf{C}$ 的列向量组线性表示。两组互相线性表示，故 $\mathbf{C}$ 的列向量组与 $\mathbf{A}$ 的列向量组等价。应选 B。