2013 年考研数学（一） 第 6 题

一般矩阵判相似很麻烦，但这里两个都是实对称矩阵、都可正交对角化，于是『相似』退化为最省力的判据『特征值相同』。目标对角阵直接给出特征值 $2,b,0$，只需逼着 $A$ 拥有相同特征值。取 $|2E-A|=-4a^2$ 必为零最快锁定 $a=0$；代回发现此时 $A$ 的特征值对任意 $b$ 都是 $2,b,0$，故 $b$ 不受限。

本题考查实对称矩阵的相似（可正交对角化）。 令 $\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}1& a& 1\\ a& b& a\\ 1& a& 1\end{array}\right)$，$\mathbf{B}=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& b& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$。二者都是实对称矩阵，都可正交对角化，故 $\mathbf{A}\sim \mathbf{B}$ 的充要条件是它们特征值相同。

$\mathbf{B}$ 的特征值为 ${\lambda }_1=2,{\lambda }_2=b,{\lambda }_3=0$。要使 $\mathbf{A}$ 有特征值 $2$，考察
$$|2\mathbf{E}-\mathbf{A}|=\left|\begin{array}{ccc}1& -a& -1\\ -a& 2-b& -a\\ -1& -a& 1\end{array}\right|.$$
第三行加到第一行后化简可得 $|2\mathbf{E}-\mathbf{A}|=-4a^2$。

由 $\mathbf{A}$ 须以 $2$ 为特征值知 $|2\mathbf{E}-\mathbf{A}|=0$，即 $-4a^2=0$，故 $a=0$。此时 $\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& b& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right)$，其特征值恰为 ${\lambda }_1=2,{\lambda }_2=b,{\lambda }_3=0$，与 $\mathbf{B}$ 完全相同（对任意 $b$ 均成立）。

故充要条件是 $a=0$，$b$ 为任意常数，应选 B。