2013 年考研数学（一） 第 7 题

三个概率所属分布不同，必须先标准化到统一的 $\Phi$ 尺度才能比较，这是正态比较题的通用第一步。$X_1,X_2$ 均值都是 $0$、区间对称，概率只取决于『用几个标准差覆盖区间』：$X_1$ 覆盖 $2\sigma$、$X_2$ 只覆盖 $1\sigma$，故 $p_1>p_2$。$X_3$ 均值 $5$ 离区间很远、落在尾部，概率自然最小，不必精确查表就能定序。

本题考查正态分布的标准化。 将每个 $X_i$ 标准化为标准正态，用标准正态分布函数 $\Phi$ 表示概率再比较。

由 $X_1\sim N(0,1)$：
$$p_1=P\{-2\le X_1\le 2\}=\Phi (2)-\Phi (-2)=2\Phi (2)-1.$$
由 $X_2\sim N(0,2^2)$，$\frac{X_2}{2}\sim N(0,1)$：
$$p_2=P\left\{-1\le \frac{X_2}{2}\le 1\right\}=2\Phi (1)-1.$$

由 $X_3\sim N(5,3^2)$，$\frac{X_3-5}{3}\sim N(0,1)$：
$$p_3=P\left\{-\frac{7}{3}\le \frac{X_3-5}{3}\le -1\right\}=\Phi (-1)-\Phi \left(-\frac{7}{3}\right)=\Phi \left(\frac{7}{3}\right)-\Phi (1).$$

因为 $\Phi$ 递增：$p_1=2\Phi (2)-1$ 中 $\Phi (2)$ 较大，故 $p_1>p_2$；而 $p_3=\Phi (7/3)-\Phi (1)$ 为两个较大值之差，数值最小。综合有 $p_1>p_2>p_3$。应选 A。