2013 年考研数学（一） 第 8 题

同时给出 $t(n)$ 与 $F(1,n)$、并出现 $c$ 与 $c^2$，这组合在提示经典关系：$X\sim t(n)\Rightarrow X^2\sim F(1,n)$。据此把 $\{Y>c^2\}$ 翻译成 $\{X^2>c^2\}=\{|X|>c\}$，再用 $t$ 分布的对称性把两个尾概率都化为 $\alpha$，相加得 $2\alpha$。

本题考查 $t$ 分布与 $F$ 分布的关系。 核心事实：若 $X\sim t(n)$，则 $X^2\sim F(1,n)$。

由 $X\sim t(n)$，存在 $U\sim N(0,1)$，$V\sim {\chi }^2(n)$ 且相互独立，使 $X=\frac{U}{\sqrt{V/n}}$。于是
$$X^2=\frac{U^2/1}{V/n}\sim F(1,n),$$
即 $Y$ 与 $X^2$ 同分布。

从而
$$P\{Y>c^2\}=P\{X^2>c^2\}=P\{X>c\}+P\{X<-c\}.$$
由 $t$ 分布关于 $0$ 对称，$P\{X<-c\}=P\{X>c\}=\alpha$，故
$$P\{Y>c^2\}=\alpha +\alpha =2\alpha .$$
应选 C。