2013 年考研数学（一） 第 9 题

看到 $n[f(1/n)-1]$ 且 $1/n\to 0$，要立刻把它认成差商 $\frac{f(1/n)-f(0)}{1/n}$——前提是 $f(0)=1$，代 $x=0$ 验证确实成立。于是极限就是 $f^{\prime }(0)$；而 $f$ 是隐函数，只需对方程隐式求导一次并代入 $x=0$，避免了去解出 $f$ 的显式表达式。

本题考查隐函数求导与导数定义。 先定出 $f(0)$，再求 $f^{\prime }(0)$，最后把待求极限化为导数定义。

将 $x=0$ 代入 $y-x={\mathrm{e}}^{x(1-y)}$，得 $y={\mathrm{e}}^0=1$，即 $f(0)=1$。
对 $y-x={\mathrm{e}}^{x(1-y)}$ 两边关于 $x$ 求导：
$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}-1={\mathrm{e}}^{x(1-y)}\left(1-y-x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right).$$
代入 $x=0,y=1$，得 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}{|}_{x=0}-1=1\cdot (1-1-0)=0$，故 $f^{\prime }(0)=1$。

于是
$$\underset{n\to \infty }{\lim }n\left[f\left(\frac{1}{n}\right)-1\right]=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{f\left(\frac{1}{n}\right)-f(0)}{\frac{1}{n}}=f^{\prime }(0)=1.$$