2013 年考研数学（一）第 10 题

填空题 · 4 分

已知

y_{1} = e^{3 x} - x e^{2 x}

，

y_{2} = e^{x} - x e^{2 x}

，

y_{3} = - x e^{2 x}

是某二阶常系数非齐次线性微分方程的

3

个解，则该方程的通解为

y =

______.

提示 1

利用线性微分方程解的结构：非齐次方程任意两个解之差都满足对应的齐次方程。

提示 2

把已知三个解两两相减，找出两个线性无关的齐次解，它们张成齐次通解。

提示 3

通解

=

齐次通解

+

任一非齐次特解；已知的某个解就可充当特解。

答案与详解

答案 $y = C_{1} e^{x} + C_{2} e^{3 x} - x e^{2 x}$ （ $C_{1}, C_{2}$ 为任意常数）

思路（为什么这么做）

这类『给几个解求通解』的题，钥匙是线性方程解的叠加结构：解之差会消去非齐次项、变成齐次解。相减得到

e^{3 x}

与

e^{x}

两个线性无关齐次解，正好凑齐二阶齐次方程的基础解系；再任取一个原解（如

- x e^{2 x}

）作特解，套『齐次通解+特解』即得，全程无需反推原方程。

解答

本题考查线性微分方程解的结构。 非齐次方程两解之差是对应齐次方程的解。

由解的结构，

y_{1} - y_{3} = e^{3 x}

与

y_{2} - y_{3} = e^{x}

都是对应齐次方程

y^{''} + p y^{'} + q y = 0

的解，且线性无关。故齐次方程的特征根为

λ_{1} = 1, λ_{2} = 3

，齐次通解为

C_{1} e^{x} + C_{2} e^{3 x}

。

又

y_{3} = - x e^{2 x}

是非齐次方程的一个特解，故原方程通解为

y = C_{1} e^{x} + C_{2} e^{3 x} - x e^{2 x} (C_{1}, C_{2} 为任意常数) .

2013 年考研数学（一） 第 10 题