2013 年考研数学（一） 第 11 题

参数方程二阶导有固定套路 $\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}=\frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)}{\dot{x}}$，最易错处是漏掉最后除以 $\dot{x}$。本题妙在 $\dot{y}=t\cos t$ 与 $\dot{x}=\cos t$ 相除后 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=t$ 异常干净，使第二步几乎无运算，代入 $t=\frac{\pi }{4}$ 即得。

本题考查参数方程确定函数的二阶导数。 依次求 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$、$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}$。

$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\cos t$，$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=\sin t+t\cos t-\sin t=t\cos t$。于是
$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y/\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x/\mathrm{d}t}=\frac{t\cos t}{\cos t}=t.$$

再对 $x$ 求导：
$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}=\frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}}=\frac{1}{\cos t}.$$
代入 $t=\frac{\pi }{4}$：$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}{|}_{t=\frac{\pi }{4}}=\frac{1}{\cos \frac{\pi }{4}}=\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{2}.$