2013 年考研数学（一） 第 12 题

看到 $\ln x$ 乘一个容易积分的有理式，就该想分部积分『让 $\ln x$ 求导』，把讨厌的对数换成 $\frac{1}{x}$。取 $\frac{1}{(1+x{)}^2}$ 的原函数 $-\frac{1}{1+x}$ 使边界项在 $1$ 和 $+\infty$ 处都为 $0$，非常干净；余下 $\int \frac{\mathrm{d}x}{x(1+x)}$ 用部分分式化成两对数之差即得 $\ln 2$。

本题考查反常积分（用分部积分）。 注意 $\frac{1}{(1+x{)}^2}\mathrm{d}x=-\mathrm{d}\left(\frac{1}{1+x}\right)$。

分部积分：
$${\int }_1^{+\infty }\frac{\ln x}{(1+x{)}^2}\mathrm{d}x=-{\int }_1^{+\infty }\ln x\mathrm{d}\left(\frac{1}{1+x}\right)=-\frac{\ln x}{1+x}{|}_1^{+\infty }+{\int }_1^{+\infty }\frac{1}{x(1+x)}\mathrm{d}x.$$
第一项当 $x\to +\infty$ 时 $\frac{\ln x}{1+x}\to 0$，$x=1$ 时 $\ln 1=0$，故第一项为 $0$。

再由 $\frac{1}{x(1+x)}=\frac{1}{x}-\frac{1}{1+x}$：
$${\int }_1^{+\infty }\frac{1}{x(1+x)}\mathrm{d}x=\ln \frac{x}{1+x}{|}_1^{+\infty }=0-\ln \frac{1}{2}=\ln 2.$$
故原积分 $=\ln 2$。