2013 年考研数学（一） 第 13 题

代数余子式集体出现时，标准动作是把它们装进伴随矩阵 $A^{\ast }$。由 $A_{ij}=-a_{ij}$ 得 $A^{\ast }=-A^{\mathrm{T}}$，两边取行列式并用 $|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}$ 即得关于 $|A|$ 的方程，解出 $0$ 或 $-1$。最后靠『非零矩阵』：按行展开发现 $|A|=-\sum a_{1j}^2<0$，排除 $|A|=0$，锁定 $-1$。

本题考查代数余子式、伴随矩阵与行列式。 关键关系：${\mathbf{A}}^{\ast }$ 的 $(i,j)$ 元是 $A_{ji}$，$|{\mathbf{A}}^{\ast }|=|\mathbf{A}{|}^{n-1}$。

由 $A_{ij}=-a_{ij}$，得 ${\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}=-{\mathbf{A}}^{\ast }$。两边取行列式（$3$ 阶）：
$$|\mathbf{A}|=|{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}|=(-1{)}^3|{\mathbf{A}}^{\ast }|=-|\mathbf{A}{|}^{3-1}=-|\mathbf{A}{|}^2.$$
于是 $|\mathbf{A}{|}^2+|\mathbf{A}|=0$，得 $|\mathbf{A}|=0$ 或 $|\mathbf{A}|=-1$。

因为 $\mathbf{A}$ 为非零矩阵，$a_{ij}$ 不全为零，不妨设 $a_{11}\ne 0$。按第一行展开：
$$|\mathbf{A}|=a_{11}{A}_{11}+a_{12}{A}_{12}+a_{13}{A}_{13}=-(a_{11}^2+a_{12}^2+a_{13}^2)<0.$$
故 $|\mathbf{A}|\ne 0$，只能 $|\mathbf{A}|=-1$。