2013 年考研数学（一） 第 14 题

条件概率题第一步永远是回到定义 $\frac{P(AB)}{P(B)}$，把『给定 $Y>a$』翻成分母。指数分布分布函数简单，代入后分子分母同含 ${\mathrm{e}}^{-a}$ 恰好约掉，得 $1-{\mathrm{e}}^{-1}$。结果不依赖 $a$，正是指数分布无记忆性的体现，可作为算对与否的直觉校验。

本题考查指数分布与条件概率（无记忆性）。 用条件概率定义直接计算。

由 $Y\sim E(1)$，分布函数为 $F(x)=\{\begin{array}{ll}1-{\mathrm{e}}^{-x},& x\ge 0,\\ 0,& x<0.\end{array}$
于是
$$P\{Y\le a+1\mid Y>a\}=\frac{P\{a<Y\le a+1\}}{P\{Y>a\}}=\frac{F(a+1)-F(a)}{1-F(a)}.$$

代入 $F$：
$$=\frac{(1-{\mathrm{e}}^{-(a+1)})-(1-{\mathrm{e}}^{-a})}{{\mathrm{e}}^{-a}}=\frac{{\mathrm{e}}^{-a}-{\mathrm{e}}^{-(a+1)}}{{\mathrm{e}}^{-a}}=1-{\mathrm{e}}^{-1}=1-\frac{1}{\mathrm{e}}.$$
（这正体现指数分布的无记忆性：结果与 $a$ 无关。）