2013 年考研数学（一） 第 15 题

关键信号是被积函数里藏着变限积分 $f(x)$，处理它的标准手法是分部积分『让 $f$ 求导』，因为 $f^{\prime }(x)=\frac{\ln (x+1)}{x}$ 简单、且 $f(1)=0$ 使边界项自动消失。为便于分部，把 $\frac{1}{\sqrt{x}}$ 凑成 $\mathrm{d}(2\sqrt{x})$；之后再分部一次、用 $\sqrt{x}=t$ 换元把根式与对数都清掉，最后归结为 $\int \frac{t^2}{1+t^2}\mathrm{d}t$ 这种基本积分。

分析。 被积函数含变限积分 $f(x)$，宜用分部积分把 $f$ 求导消去。注意 $f(1)=0$，$f^{\prime }(x)=\frac{\ln (x+1)}{x}$。

先对 $\frac{1}{\sqrt{x}}$ 凑微分并分部积分：
$${\int }_0^1\frac{f(x)}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x=2{\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}(\sqrt{x})=2\sqrt{x}f(x){|}_0^1-2{\int }_0^1{f}^{\prime }(x)\sqrt{x}\mathrm{d}x.$$
边界项中 $x=1$ 时 $f(1)=0$，$x\to 0^{+}$ 时 $2\sqrt{x}f(x)\to 0$，故边界项为 $0$。

于是
$$=-2{\int }_0^1\frac{\ln (x+1)}{x}\sqrt{x}\mathrm{d}x=-2{\int }_0^1\frac{\ln (x+1)}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x=-4{\int }_0^1\ln (x+1)\mathrm{d}(\sqrt{x}).$$
再分部积分：
$$=-4\sqrt{x}\ln (x+1){|}_0^1+4{\int }_0^1\frac{\sqrt{x}}{x+1}\mathrm{d}x=-4\ln 2+4{\int }_0^1\frac{\sqrt{x}}{x+1}\mathrm{d}x.$$

对余下积分令 $\sqrt{x}=t(x=t^2,\mathrm{d}x=2t\mathrm{d}t)$：
$$4{\int }_0^1\frac{\sqrt{x}}{x+1}\mathrm{d}x=8{\int }_0^1\frac{t^2}{1+t^2}\mathrm{d}t=8{\int }_0^1\left(1-\frac{1}{1+t^2}\right)\mathrm{d}t=8(t-\arctan t){|}_0^1=8-2\pi .$$

综上
$${\int }_0^1\frac{f(x)}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x=-4\ln 2+8-2\pi .$$