2013 年考研数学（一） 第 16 题

（Ⅰ）主线是把递推关系『翻译』成和函数的微分方程：$S^{\prime \prime }$ 逐项求导后 $x^n$ 的系数是 $(n+2)(n+1)a_{n+2}$，而递推恰说它等于 $a_n$，于是 $S^{\prime \prime }$ 与 $S$ 逐项相同。（Ⅱ）$S^{\prime \prime }-S=0$ 自然转入常系数齐次方程，特征根 $\pm 1$；初值无需另找，$S(0)=a_0=3$、$S^{\prime }(0)=a_1=1$ 直接来自幂级数系数。

（Ⅰ） 由幂级数逐项可导，
$$S^{\prime }(x)=\sum _{n=1}^{\infty }n{a}_n{x}^{n-1},S^{\prime \prime }(x)=\sum _{n=2}^{\infty }n(n-1)a_n{x}^{n-2}=\sum _{n=0}^{\infty }(n+2)(n+1)a_{n+2}{x}^n.$$

由递推 $a_{n-2}-n(n-1)a_n=0(n\ge 2)$，令下标平移（取 $n\to n+2$）得 $a_n=(n+2)(n+1)a_{n+2}(n=0,1,2,\cdots )$，即 $(n+2)(n+1)a_{n+2}=a_n$。代入上式：
$$S^{\prime \prime }(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(n+2)(n+1)a_{n+2}{x}^n=\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n=S(x),$$
即 $S^{\prime \prime }(x)-S(x)=0$。

（Ⅱ） $S^{\prime \prime }(x)-S(x)=0$ 是常系数齐次线性微分方程，特征方程 ${\lambda }^2-1=0$，特征根 ${\lambda }_1=-1,{\lambda }_2=1$，故
$$S(x)=C_1{\mathrm{e}}^{-x}+C_2{\mathrm{e}}^x.$$

由初始条件 $S(0)=a_0=3$，$S^{\prime }(0)=a_1=1$，得
$$\{\begin{array}{l}{C}_1+C_2=3,\\ -C_1+C_2=1,\end{array}⟹C_1=1,C_2=2.$$
故幂级数的和函数为 $S(x)={\mathrm{e}}^{-x}+2{\mathrm{e}}^x$。