2013 年考研数学（一） 第 17 题

这是标准的二元无条件极值题，思路固定为『驻点 + 二阶判别』。求偏导时 ${\mathrm{e}}^{x+y}$ 是恒不为零的公因子可直接约掉，剩下两方程相减恰好消去 $y$ 与三次项、留下 $x^2-1=0$，两个驻点随之而来。再用 $AC-B^2$ 判别：一点为负（非极值），另一点为正且 $A>0$（极小），干净利落。

分析。 $f(x,y)$ 在整个平面上有定义。先由一阶偏导为零求驻点，再用 $AC-B^2$ 判别。

一阶偏导：
$$f_x^{\prime }=\left(x^2+\frac{x^3}{3}+y\right){\mathrm{e}}^{x+y},f_y^{\prime }=\left(y+\frac{x^3}{3}+1\right){\mathrm{e}}^{x+y}.$$
令二者为零，因 ${\mathrm{e}}^{x+y}\ne 0$，得
$$\{\begin{array}{l}{x}^2+\frac{x^3}{3}+y=0,\\ y+\frac{x^3}{3}+1=0.\end{array}$$
两式相减得 $x^2-1=0$，即 $x=\pm 1$，对应驻点 $\left(-1,-\frac{2}{3}\right)$ 与 $\left(1,-\frac{4}{3}\right)$。

二阶偏导：
$$f_{xx}^{\prime \prime }=\left(2x+2x^2+\frac{x^3}{3}+y\right){\mathrm{e}}^{x+y},f_{xy}^{\prime \prime }=\left(x^2+\frac{x^3}{3}+y+1\right){\mathrm{e}}^{x+y},f_{yy}^{\prime \prime }=\left(y+\frac{x^3}{3}+2\right){\mathrm{e}}^{x+y}.$$

在 $\left(-1,-\frac{2}{3}\right)$ 处：
$$A=f_{xx}^{\prime \prime }=-{\mathrm{e}}^{-\frac{5}{3}},B=f_{xy}^{\prime \prime }={\mathrm{e}}^{-\frac{5}{3}},C=f_{yy}^{\prime \prime }={\mathrm{e}}^{-\frac{5}{3}}.$$
$AC-B^2=-2{\mathrm{e}}^{-\frac{10}{3}}<0$，故 $\left(-1,-\frac{2}{3}\right)$ 不是极值点。

在 $\left(1,-\frac{4}{3}\right)$ 处：
$$A=f_{xx}^{\prime \prime }=3{\mathrm{e}}^{-\frac{1}{3}},B=f_{xy}^{\prime \prime }={\mathrm{e}}^{-\frac{1}{3}},C=f_{yy}^{\prime \prime }={\mathrm{e}}^{-\frac{1}{3}}.$$
$AC-B^2=2{\mathrm{e}}^{-\frac{2}{3}}>0$ 且 $A>0$，故 $\left(1,-\frac{4}{3}\right)$ 为极小值点，极小值为
$$f\left(1,-\frac{4}{3}\right)=\left(-\frac{4}{3}+\frac{1}{3}\right){\mathrm{e}}^{1-\frac{4}{3}}=-{\mathrm{e}}^{-\frac{1}{3}}.$$