2013 年考研数学（一） 第 18 题

（Ⅰ）奇函数的关键副产品是 $f(0)=0$，配合 $f(1)=1$，『存在一点导数等于平均变化率 $1$』正是拉格朗日中值定理（或构造 $f(x)-x$ 用罗尔）。（Ⅱ）结论里 $f^{\prime \prime }+f^{\prime }$ 的组合是提示：凡『$f^{\prime \prime }+f^{\prime }$』都对应 $\frac{(f^{\prime }{\mathrm{e}}^x{)}^{\prime }}{{\mathrm{e}}^x}$，故构造 $h=(f^{\prime }-1){\mathrm{e}}^x$；再由『奇函数的导数为偶函数』得 $f^{\prime }(\pm \xi )=1$，使 $h$ 在 $\pm \xi$ 两端为零，罗尔定理直接给出 $\eta$。

（Ⅰ） 因为 $f(x)$ 为奇函数，$f(-x)=-f(x)$，令 $x=0$ 得 $f(0)=0$。

方法一（拉格朗日中值定理）。 $f$ 在 $[0,1]$ 上连续、$(0,1)$ 内可导，由拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (0,1)$ 使得
$$f^{\prime }(\xi )=\frac{f(1)-f(0)}{1-0}=\frac{1-0}{1}=1.$$

方法二（罗尔定理）。 令 $\phi (x)=f(x)-x$，则 $\phi (0)=0$，$\phi (1)=f(1)-1=0$。由罗尔定理，存在 $\xi \in (0,1)$ 使 ${\phi }^{\prime }(\xi )=0$，而 ${\phi }^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-1$，故 $f^{\prime }(\xi )=1$。

（Ⅱ） 因为 $f(x)$ 为奇函数，其导数 $f^{\prime }(x)$ 为偶函数，故 $f^{\prime }(-\xi )=f^{\prime }(\xi )=1$。

构造辅助函数 $h(x)=[f^{\prime }(x)-1]{\mathrm{e}}^x$。则
$$h(-\xi )=[f^{\prime }(-\xi )-1]{\mathrm{e}}^{-\xi }=0,h(\xi )=[f^{\prime }(\xi )-1]{\mathrm{e}}^{\xi }=0.$$

$h(x)$ 在 $[-\xi ,\xi ]$ 上满足罗尔定理条件，故存在 $\eta \in (-\xi ,\xi )\subset (-1,1)$ 使 $h^{\prime }(\eta )=0$。而
$$h^{\prime }(x)=f^{\prime \prime }(x){\mathrm{e}}^x+[f^{\prime }(x)-1]{\mathrm{e}}^x=[f^{\prime \prime }(x)+f^{\prime }(x)-1]{\mathrm{e}}^x,$$
因 ${\mathrm{e}}^{\eta }\ne 0$，故 $f^{\prime \prime }(\eta )+f^{\prime }(\eta )-1=0$，即 $f^{\prime \prime }(\eta )+f^{\prime }(\eta )=1$。证毕。