2013 年考研数学（一） 第 3 题

这题不必真去算 $b_n$。看到『只含 $\sin n\pi x$』要立刻联想到『奇延拓+周期延拓』，从而断定 $S$ 是周期为 $2$ 的奇函数——这是正弦级数的本质。于是 $S\left(-\frac{9}{4}\right)$ 靠 $+2$ 周期平移与奇函数变号化到 $x=\frac{1}{4}$；该点是 $f$ 的连续点，由收敛定理 $S\left(\frac{1}{4}\right)=f\left(\frac{1}{4}\right)$，问题即解决。

本题考查正弦级数（傅里叶级数）的性质。 $b_n$ 恰是把 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上先作奇延拓、再作周期延拓后的正弦级数系数，故 $S(x)$ 是以 $2$ 为周期的奇函数。

利用周期性 $S(x+2)=S(x)$：
$$S\left(-\frac{9}{4}\right)=S\left(-\frac{9}{4}+2\right)=S\left(-\frac{1}{4}\right).$$
再利用奇性 $S(-x)=-S(x)$：
$$S\left(-\frac{1}{4}\right)=-S\left(\frac{1}{4}\right).$$

因为 $x=\frac{1}{4}$ 是 $f(x)$ 的连续点，由收敛定理 $S\left(\frac{1}{4}\right)=f\left(\frac{1}{4}\right)=\left|\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\right|=\frac{1}{4}$。于是
$$S\left(-\frac{9}{4}\right)=-S\left(\frac{1}{4}\right)=-\frac{1}{4}.$$
应选 C。