2013 年考研数学（一） 第 2 题

关键是识别『曲面由单个方程隐式确定』这一结构：把左边整体记作 $F$，则 $\nabla F=(F_x^{\prime },F_y^{\prime },F_z^{\prime })$ 就是法向量，这是隐式曲面切平面的标准套路。求偏导时含 $\sin (xy)$ 的项在点 $(0,1,-1)$ 处因 $\sin 0=0$ 自动消失，计算并不繁琐，最后套点法式即得。

本题考查隐式曲面的切平面（法向量为梯度）。 令 $F(x,y,z)=x^2+\cos (xy)+yz+x$，则曲面的法向量为 $\mathbf{n}=(F_x^{\prime },F_y^{\prime },F_z^{\prime })$。

分别求偏导：
$$F_x^{\prime }=2x-y\sin (xy)+1,F_y^{\prime }=-x\sin (xy)+z,F_z^{\prime }=y.$$
在点 $(0,1,-1)$ 处代入：
$$F_x^{\prime }=2\cdot 0-1\cdot \sin 0+1=1,F_y^{\prime }=-0\cdot \sin 0+(-1)=-1,F_z^{\prime }=1,$$
故法向量 $\mathbf{n}=(1,-1,1)$。

切平面方程为
$$1\cdot (x-0)-1\cdot (y-1)+1\cdot (z+1)=0,$$
即 $x-y+z+2=0$，也即 $x-y+z=-2$。应选 A。