2013 年考研数学（一） 第 1 题

分母是纯幂 $x^k$，『极限为非零常数』这句话等价于『分子与分母同阶』，问题从『求极限』退化为『数分子的阶』。看到 $\arctan x$ 这类有现成展开的函数，第一反应就是泰勒公式：$\arctan x=x-\frac{x^3}{3}+o(x^3)$，相减消去一次项后剩 $\frac{x^3}{3}$，同时读出 $k=3$ 与 $c=\frac{1}{3}$，比洛必达更快更稳。

本题考查无穷小的阶与极限计算。 只需确定 $x-\arctan x$ 当 $x\to 0$ 时的等价无穷小的阶。

方法一（泰勒展开）。 由 $\arctan x=x-\frac{x^3}{3}+o(x^3)$，得
$$x-\arctan x=\frac{x^3}{3}+o(x^3)\sim \frac{x^3}{3}(x\to 0).$$
于是要使 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x-\arctan x}{x^k}=c\ne 0$，必有 $k=3$，且
$$c=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^3/3}{x^3}=\frac{1}{3}.$$

方法二（洛必达法则）。
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x-\arctan x}{x^k}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\frac{1}{1+x^2}}{k{x}^{k-1}}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2}{k(1+x^2)x^{k-1}}=\frac{1}{k}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2}{x^{k-1}}.$$
要使极限为非零常数，须 $k-1=2$，即 $k=3$，此时 $c=\frac{1}{3}$。

综上 $k=3,c=\frac{1}{3}$，应选 D。