2013 年考研数学（一） 第 22 题

关键先认清 $Y$ 的类型：它在 $X\le 1$、$X\ge 2$ 塌缩成常数 $2$、$1$（产生离散概率质量），在 $1<X<2$ 上等于 $X$（连续段），所以是混合型，分布函数要『质量 + 积分』分段拼。第（Ⅱ）问不必求联合分布，直接按 $X$ 的三个区间逐段判断 $X\le Y$ 真假：$X\le 1$ 时 $Y=2$ 必成立、$1<X<2$ 时 $Y=X$ 取等成立、$X\ge 2$ 时 $Y=1$ 必不成立，把成立段概率相加即可。

分析。 $Y$ 既非连续型也非离散型，需分别求出 $Y$ 取孤立值 $1,2$ 的概率和 $Y$ 落在 $(1,2)$ 的概率。先算几个基本概率：
$$P\{Y=1\}=P\{X\ge 2\}={\int }_2^3\frac{1}{9}{x}^2\mathrm{d}x=\frac{19}{27},$$
$$P\{Y=2\}=P\{X\le 1\}={\int }_0^1\frac{1}{9}{x}^2\mathrm{d}x=\frac{1}{27},$$
$$P\{1<Y<2\}=P\{1<X<2\}=1-\frac{19}{27}-\frac{1}{27}=\frac{7}{27}.$$

（Ⅰ）分布函数 $F_Y(y)=P\{Y\le y\}$。

当 $y<1$ 时，$F_Y(y)=0$；

当 $1\le y<2$ 时（注意 $1<Y<2$ 部分 $Y=X$）：
$$F_Y(y)=P\{Y=1\}+P\{1<X\le y\}=\frac{19}{27}+{\int }_1^y\frac{1}{9}{x}^2\mathrm{d}x=\frac{19}{27}+\frac{y^3-1}{27}=\frac{18+y^3}{27};$$

当 $y\ge 2$ 时，$F_Y(y)=1$。

故
$$F_Y(y)=\{\begin{array}{ll}0,& y<1,\\ \frac{18+y^3}{27},& 1\le y<2,\\ 1,& y\ge 2.\end{array}$$

（Ⅱ） 按 $X$ 所在的三个区间分解事件 $\{X\le Y\}$：

· 当 $X\le 1$ 时 $Y=2\ge X$，故 $X\le Y$ 恒成立，此段贡献 $P\{X\le 1\}=\frac{1}{27}$；

· 当 $1<X<2$ 时 $Y=X$，故 $X\le Y$ 恒成立（取等号），此段贡献 $P\{1<X<2\}=\frac{7}{27}$；

· 当 $X\ge 2$ 时 $Y=1<X$，故 $X\le Y$ 不成立，贡献为 $0$。

于是
$$P\{X\le Y\}=\frac{1}{27}+\frac{7}{27}+0=\frac{8}{27}.$$