2013 年考研数学（一） 第 21 题

（Ⅰ）二次型化矩阵的诀窍是把线性型看成内积 ${\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}\mathbf{X}={\mathbf{X}}^{\mathrm{T}}\mathbf{\alpha }$，则 $({\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}\mathbf{X}{)}^2={\mathbf{X}}^{\mathrm{T}}(\mathbf{\alpha }{\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}})\mathbf{X}$，中间的对称阵即所求。（Ⅱ）妙处在于不必算特征多项式：正交单位条件下直接验证 $\mathbf{A}\mathbf{\alpha }=2\mathbf{\alpha }$、$\mathbf{A}\mathbf{\beta }=\mathbf{\beta }$，说明 $\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta }$ 就是特征向量、特征值为 $2,1$；又因 $\mathbf{A}$ 由两个秩 $1$ 矩阵相加、秩 $\le 2$，必有特征值 $0$。三个特征值 $2,1,0$ 一出，正交标准形即定。

（Ⅰ） 令 $\mathbf{X}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)$，则 $a_1{x}_1+a_2{x}_2+a_3{x}_3={\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}\mathbf{X}={\mathbf{X}}^{\mathrm{T}}\mathbf{\alpha }$，$b_1{x}_1+b_2{x}_2+b_3{x}_3={\mathbf{\beta }}^{\mathrm{T}}\mathbf{X}$。

于是
$$f=2({\mathbf{X}}^{\mathrm{T}}\mathbf{\alpha })({\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}\mathbf{X})+({\mathbf{X}}^{\mathrm{T}}\mathbf{\beta })({\mathbf{\beta }}^{\mathrm{T}}\mathbf{X})={\mathbf{X}}^{\mathrm{T}}(2\mathbf{\alpha }{\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}})\mathbf{X}+{\mathbf{X}}^{\mathrm{T}}(\mathbf{\beta }{\mathbf{\beta }}^{\mathrm{T}})\mathbf{X}={\mathbf{X}}^{\mathrm{T}}(2\mathbf{\alpha }{\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}+\mathbf{\beta }{\mathbf{\beta }}^{\mathrm{T}})\mathbf{X}.$$
又 $2\mathbf{\alpha }{\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}+\mathbf{\beta }{\mathbf{\beta }}^{\mathrm{T}}$ 是对称矩阵，故它就是二次型 $f$ 对应的矩阵。记 $\mathbf{A}=2\mathbf{\alpha }{\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}+\mathbf{\beta }{\mathbf{\beta }}^{\mathrm{T}}$。

（Ⅱ） 设 $\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta }$ 正交且为单位向量，即 ${\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}\mathbf{\alpha }={\mathbf{\beta }}^{\mathrm{T}}\mathbf{\beta }=1$，${\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}\mathbf{\beta }={\mathbf{\beta }}^{\mathrm{T}}\mathbf{\alpha }=0$。

计算 $\mathbf{A}\mathbf{\alpha }=(2\mathbf{\alpha }{\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}+\mathbf{\beta }{\mathbf{\beta }}^{\mathrm{T}})\mathbf{\alpha }=2\mathbf{\alpha }({\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}\mathbf{\alpha })+\mathbf{\beta }({\mathbf{\beta }}^{\mathrm{T}}\mathbf{\alpha })=2\mathbf{\alpha }$，故 $\mathbf{\alpha }$ 是 $\mathbf{A}$ 属于特征值 ${\lambda }_1=2$ 的特征向量。

同理 $\mathbf{A}\mathbf{\beta }=2\mathbf{\alpha }({\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}\mathbf{\beta })+\mathbf{\beta }({\mathbf{\beta }}^{\mathrm{T}}\mathbf{\beta })=\mathbf{\beta }$，故 $\mathbf{\beta }$ 是 $\mathbf{A}$ 属于特征值 ${\lambda }_2=1$ 的特征向量。

又 $r(\mathbf{A})=r(2\mathbf{\alpha }{\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}+\mathbf{\beta }{\mathbf{\beta }}^{\mathrm{T}})\le r(\mathbf{\alpha }{\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}})+r(\mathbf{\beta }{\mathbf{\beta }}^{\mathrm{T}})=1+1=2<3$，所以 $\mathbf{A}$ 必有特征值 ${\lambda }_3=0$。故 $\mathbf{A}$ 的特征值为 $2,1,0$，$f$ 在正交变换下的标准形为 $2y_1^2+y_2^2$。证毕。