2013 年考研数学（一） 第 20 题

面对含未知矩阵 $C$ 的方程，通用策略是把 $C$ 的元素设成未知数，将矩阵方程『降维』成熟悉的线性方程组 $Ax=b$。于是『存在 $C$』就是『方程组相容』，『求所有 $C$』就是『求通解』。对增广矩阵消元时，末尾会冒出与 $1+a$、$b$ 有关的相容性条件，令它们成立即得 $a=-1,b=0$，再回代得含两个自由参数的解集。

分析。 设 $\mathbf{C}=\left(\begin{array}{cc}{x}_1& x_2\\ x_3& x_4\end{array}\right)$，把矩阵方程 $\mathbf{AC}-\mathbf{CA}=\mathbf{B}$ 化为关于 $x_1,x_2,x_3,x_4$ 的线性方程组，再讨论其相容性。

计算
$$\mathbf{AC}=\left(\begin{array}{cc}{x}_1+a{x}_3& x_2+a{x}_4\\ x_1& x_2\end{array}\right),\mathbf{CA}=\left(\begin{array}{cc}{x}_1+x_2& a{x}_1\\ x_3+x_4& a{x}_3\end{array}\right),$$
$$\mathbf{AC}-\mathbf{CA}=\left(\begin{array}{cc}-x_2+a{x}_3& -a{x}_1+x_2+a{x}_4\\ x_1-x_3-x_4& x_2-a{x}_3\end{array}\right).$$

由 $\mathbf{AC}-\mathbf{CA}=\mathbf{B}$ 得方程组
$$\{\begin{array}{l}-x_2+a{x}_3=0,\\ -a{x}_1+x_2+a{x}_4=1,\\ x_1-x_3-x_4=1,\\ x_2-a{x}_3=b.\end{array}$$
对其增广矩阵作初等行变换可化为阶梯形，出现两个与相容性相关的条件行 $(1+a)$ 与 $b$。

当且仅当 $1+a=0$ 且 $b=0$，即 $a=-1,b=0$ 时方程组相容（有解）。此时通解为
$$\mathbf{X}=k_1\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 1\\ 0\end{array}\right)+k_2\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{k}_1+k_2+1\\ -k_1\\ k_1\\ k_2\end{array}\right).$$

故当 $a=-1,b=0$ 时存在矩阵 $\mathbf{C}$，且所有 $\mathbf{C}$ 为
$$\mathbf{C}=\left(\begin{array}{cc}{k}_1+k_2+1& -k_1\\ k_1& k_2\end{array}\right)(k_1,k_2\text{ 为任意常数}).$$