2013 年考研数学（一） 第 23 题

这是参数估计的两套固定流程。矩估计：算 $E(X)$ 并令其等于 $\bar{X}$；本题 $E(X)$ 的积分靠换元 $t=\frac{\theta }{x}$ 化成 ${\int }_0^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t=1$，得 $E(X)=\theta$，故 $\hat{\theta }=\bar{X}$。最大似然：似然连乘后取对数把乘积变求和，$\ln L=2n\ln \theta -3\sum \ln x_i-\theta \sum \frac{1}{x_i}$，对 $\theta$ 求导令零即得 $\hat{\theta }=\frac{2n}{\sum 1/x_i}$。两种估计量不同，正体现两种方法着眼点各异。

（Ⅰ）矩估计。 先求总体期望：
$$E(X)={\int }_{-\infty }^{+\infty }xf(x)\mathrm{d}x={\int }_0^{+\infty }\frac{{\theta }^2}{x^2}{\mathrm{e}}^{-\frac{\theta }{x}}\mathrm{d}x=-\theta {\int }_0^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-\frac{\theta }{x}}\mathrm{d}\left(\frac{\theta }{x}\right).$$
令 $t=\frac{\theta }{x}$（$x:0^{+}\to +\infty$ 时 $t:+\infty \to 0^{+}$）：
$$E(X)=-\theta {\int }_{+\infty }^0{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t=\theta {\int }_0^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t=\theta .$$

令 $E(X)=\bar{X}$，即 $\theta =\bar{X}$，故 $\theta$ 的矩估计量为 $\hat{\theta }=\bar{X}$。

（Ⅱ）最大似然估计。 似然函数（$x_i>0$）：
$$L(\theta )=\prod _{i=1}^{n}f(x_i;\theta )=\prod _{i=1}^n\frac{{\theta }^2}{x_i^3}{\mathrm{e}}^{-\frac{\theta }{x_i}}=\frac{{\theta }^{2n}}{{\left(x_1{x}_2\cdots x_n\right)}^3}{\mathrm{e}}^{-\theta \left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots +\frac{1}{x_n}\right)}.$$

取对数：
$$\ln L(\theta )=2n\ln \theta -3\sum _{i=1}^n\ln x_i-\theta \sum _{i=1}^n\frac{1}{x_i}.$$
对 $\theta$ 求导并令其为零：
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta }\ln L(\theta )=\frac{2n}{\theta }-\sum _{i=1}^n\frac{1}{x_i}=0⟹\hat{\theta }=\frac{2n}{{\sum }_{i=1}^n\frac{1}{x_i}}.$$

故 $\theta$ 的最大似然估计量为
$$\hat{\theta }=\frac{2n}{\sum _{i=1}^n\frac{1}{X_i}}.$$