2012 年考研数学（一） 第 22 题

第一问只是『在联合分布表里按条件挑格子』，注意 $(2,1)$ 那格概率为零。第二问的省力关键是协方差的双线性展开 $\mathrm{Cov}(X-Y,Y)=\mathrm{Cov}(X,Y)-\mathrm{Cov}(Y,Y)$，把复合变量拆成基本协方差与方差，避免直接求 $X-Y$ 的分布。所需的 $E(XY)$ 等量都从联合分布与边缘分布读出。

(I) 满足 $X=2Y$ 的取值仅有 $(X,Y)=(0,0)$（概率 $\frac{1}{4}$）与 $(X,Y)=(2,1)$（概率 $0$）。故 $P\{X=2Y\}=\frac{1}{4}+0=\frac{1}{4}$。

(II) 由联合分布求边缘分布与 $XY$ 的分布：$X\sim \left(\begin{array}{ccc}0& 1& 2\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{3}& \frac{1}{6}\end{array}\right)$，$Y\sim \left(\begin{array}{ccc}0& 1& 2\\ \frac{1}{3}& \frac{1}{3}& \frac{1}{3}\end{array}\right)$，$XY\sim \left(\begin{array}{ccc}0& 1& 4\\ \frac{7}{12}& \frac{1}{3}& \frac{1}{12}\end{array}\right)$。

于是 $E(X)=\frac{2}{3}$，$E(Y)=1$，$E(Y^2)=\frac{5}{3}$，$D(Y)=E(Y^2)-[E(Y){]}^2=\frac{2}{3}$，$E(XY)=\frac{2}{3}$。

$\mathrm{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=\frac{2}{3}-\frac{2}{3}\cdot 1=0$。

由协方差的双线性：$\mathrm{Cov}(X-Y,Y)=\mathrm{Cov}(X,Y)-\mathrm{Cov}(Y,Y)=\mathrm{Cov}(X,Y)-D(Y)=0-\frac{2}{3}=-\frac{2}{3}$。