2012 年考研数学（一） 第 21 题

破题第一把钥匙是 $r(A^{T}A)=r(A)$，它把关于 $A^{T}A$ 的秩条件降维成对更小的 $A$ 做行变换求 $a$。第二问是『正交变换化标准形』的标配流程：求实对称矩阵 $A^{T}A$ 的特征值特征向量、单位化、拼 $Q$，标准形系数即特征值，无需配方。出现零特征值正对应秩为 $2$（只有两个非零平方项）。

(I) 因 $r(A^{T}A)=r(A)$，故二次型秩为 $2$ 即 $r(A)=2$。对 $A$ 作行变换 $$A\to \left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& a+1\\ 0& 0& -1-a\end{array}\right).$$ 要 $r(A)=2$，须 $a+1=0$，即 $a=-1$。

(II) 当 $a=-1$ 时，$A^{T}A=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 2\\ 0& 2& 2\\ 2& 2& 4\end{array}\right)$。特征多项式 $|\lambda E-A^{T}A|=\lambda (\lambda -2)(\lambda -6)$，特征值为 ${\lambda }_1=0,{\lambda }_2=2,{\lambda }_3=6$。

对应特征向量：${\lambda }_1=0$ 对应 ${\xi }_1=(-1,-1,1{)}^T$；${\lambda }_2=2$ 对应 ${\xi }_2=(1,-1,0{)}^T$；${\lambda }_3=6$ 对应 ${\xi }_3=(1,1,2{)}^T$（两两正交）。

单位化得 ${\gamma }_1=\frac{1}{\sqrt{3}}(-1,-1,1{)}^T$，${\gamma }_2=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1,0{)}^T$，${\gamma }_3=\frac{1}{\sqrt{6}}(1,1,2{)}^T$。

令 $Q=({\gamma }_1,{\gamma }_2,{\gamma }_3)=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{1}{\sqrt{3}}& \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{6}}\\ -\frac{1}{\sqrt{3}}& -\frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{6}}\\ \frac{1}{\sqrt{3}}& 0& \frac{2}{\sqrt{6}}\end{array}\right)$，在正交变换 $\mathbf{x}=Q\mathbf{y}$ 下，二次型化为标准形 $f=2y_2^2+6y_3^2$。