2012 年考研数学（一） 第 20 题

第一问抓住矩阵『每列稀疏』的特点按第一列展开，余子式恰是三角行列式。第二问的逻辑链是『无穷多解 $\Rightarrow |A|=0\Rightarrow a=\pm 1$』，但 $|A|=0$ 只是必要条件，必须回代逐一验证：$a=1$ 时秩不相等（无解），只有 $a=-1$ 才真有无穷多解。这提醒我们行列式为零后一定要用增广矩阵核实相容性。

(I) 按第一列展开：$|A|=1\cdot A_{11}+a\cdot A_{41}=M_{11}-a{M}_{41}$。其中 $M_{11}=\left|\begin{array}{ccc}1& a& 0\\ 0& 1& a\\ 0& 0& 1\end{array}\right|=1$，$M_{41}=\left|\begin{array}{ccc}a& 0& 0\\ 1& a& 0\\ 0& 1& a\end{array}\right|=a^3$。故 $|A|=1-a\cdot a^3=1-a^4$。

(II) 有无穷多解需 $|A|=0$，即 $a^4=1$，实数解为 $a=1$ 或 $a=-1$。

当 $a=-1$ 时，对增广矩阵作初等行变换 $$(A\mid \mathbf{\beta })=\left(\begin{array}{ccccc}1& -1& 0& 0& 1\\ 0& 1& -1& 0& -1\\ 0& 0& 1& -1& 0\\ -1& 0& 0& 1& 0\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& -1& 0\\ 0& 1& 0& -1& -1\\ 0& 0& 1& -1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right),$$ 此时 $r(A)=r(\overline{A})=3<4$，方程组有无穷多解。取 $x_4$ 为自由未知量，通解为 $\mathbf{x}=k(1,1,1,1{)}^T+(0,-1,0,0{)}^T$（$k$ 为任意常数）。

当 $a=1$ 时，化简后 $r(A)=3\ne r(\overline{A})=4$（末行形如 $0=-2$），方程组无解。

综上，仅当 $a=-1$ 时方程组有无穷多解，通解为 $\mathbf{x}=k(1,1,1,1{)}^T+(0,-1,0,0{)}^T$。