2012 年考研数学（一） 第 19 题

看到 $\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=1$ 这样干净的结果，就知道格林公式能把复杂的曲线积分变成『求面积』。曲线不闭合时的通法是『补线成闭 $+$ 减补线』：补一段计算简单的路径（这里沿 $y$ 轴，$dx=0$）凑成闭区域，闭合积分退化为区域面积，最后把多加的补线积分减掉。

记 $P=3x^{2}y$，$Q=x^3+x-2y$，则 $\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=(3x^2+1)-3x^2=1$。

补一段 $L_0$：沿 $y$ 轴从 $(0,2)$ 到 $(0,0)$（即 $x=0$）。则 $L+L_0$ 构成正向闭曲线，围成区域 $D$（第一象限内、大圆 $x^2+y^2=4$ 之内、小圆 $x^2+y^2=2x$ 之外的部分）。由格林公式 $${\oint }_{L+L_0}Pdx+Qdy={\iint }_{D}1d\sigma =\text{Area}(D).$$

面积 $\text{Area}(D)=\frac{1}{4}\pi \cdot 2^2-\frac{1}{2}\pi \cdot 1^2=\pi -\frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{2}$。

在 $L_0$ 上 $x=0,dx=0$：${\int }_{L_0}Pdx+Qdy={\int }_2^0(-2y)dy={\int }_0^{2}2ydy=4$。

故 $I={\oint }_{L+L_0}-{\int }_{L_0}=\frac{\pi }{2}-4$。