2012 年考研数学（一） 第 18 题

这是『几何条件 $\to$ 微分方程』的典型题。把『切点到 $x$ 轴交点距离为 $1$』翻译成勾股关系 ${\cot }^{2}t{f}^{\prime 2}(t)+{\cos }^{2}t=1$，就得到关于 $f^{\prime }(t)$ 的方程，解出后积分即得 $f$。求面积时不必反解 $x,y$ 的显式关系，直接用参数形式 $\int ydx=\int \cos t{f}^{\prime }(t)dt$，$\cos t$ 恰好约掉 $f^{\prime }(t)$ 里的分母，化成 $\int {\sin }^{2}tdt$。

切点为 $(f(t),\cos t)$，切线斜率 $k=\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{-\sin t}{f^{\prime }(t)}$，切线方程 $y-\cos t=\frac{-\sin t}{f^{\prime }(t)}[x-f(t)]$。

令 $y=0$，得切线与 $x$ 轴交点的横坐标 $x=f(t)+\frac{\cos t}{\sin t}{f}^{\prime }(t)$，故交点与切点的横向偏移为 $\cot t\cdot f^{\prime }(t)$，纵向偏移为 $\cos t$。由距离恒为 $1$：${\cot }^{2}t\cdot f^{\prime 2}(t)+{\cos }^{2}t=1$。

于是 ${\cot }^{2}t\cdot f^{\prime 2}(t)=1-{\cos }^{2}t={\sin }^{2}t$。因 $f^{\prime }(t)>0$，得 $f^{\prime }(t)=\frac{{\sin }^{2}t}{\cos t}=\sec t-\cos t$。

积分得 $f(t)=\ln (\sec t+\tan t)-\sin t+C$。由 $f(0)=0$ 得 $C=0$，故 $f(t)=\ln (\sec t+\tan t)-\sin t$。

面积：当 $t\to {\frac{\pi }{2}}^{-}$ 时 $f(t)\to +\infty$，$y=\cos t$ 由 $1$ 递减到 $0$。所求（无界）区域面积为 $$A={\int }_0^{+\infty }ydx={\int }_0^{\pi /2}\cos t\cdot f^{\prime }(t)dt={\int }_0^{\pi /2}\cos t\cdot \frac{{\sin }^{2}t}{\cos t}dt={\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{2}tdt=\frac{\pi }{4}.$$