2012 年考研数学（一） 第 17 题

和函数题的钥匙是把复杂系数拆成能对上已知级数的简单形式。注意 $4n^2+4n+3=(2n+1{)}^2+2$，系数就裂成 $(2n+1)+\frac{2}{2n+1}$：前者对 $\frac{x}{1-x^2}$ 求导（把 $2n+1$ 变出来），后者对 $\frac{1}{1-t^2}$ 积分（把 $2n+1$ 放进分母）。求导降分母、积分升分母，是幂级数求和的两大基本手法。

收敛域：视为 $x^2$ 的幂级数，由 $\underset{n\to \infty }{\lim }\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=1$ 得收敛半径 $R=1$。当 $x=\pm 1$ 时通项 $\frac{4n^2+4n+3}{2n+1}\to \infty \ne 0$，级数发散。故收敛域为 $(-1,1)$。

拆项：注意 $4n^2+4n+3=(2n+1{)}^2+2$，故 $\frac{4n^2+4n+3}{2n+1}=(2n+1)+\frac{2}{2n+1}$，于是 $S(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(2n+1)x^{2n}+2\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^{2n}}{2n+1}$。

第一部分：$\sum _{n=0}^{\infty }(2n+1)x^{2n}=(\sum _{n=0}^{\infty }{x}^{2n+1}{)}^{\prime }=(\frac{x}{1-x^2}{)}^{\prime }=\frac{1+x^2}{(1-x^2{)}^2}(-1<x<1)$。

第二部分：记 $S_1(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^{2n}}{2n+1}$，$S_1(0)=1$。当 $0<|x|<1$ 时 $S_1(x)=\frac{1}{x}\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^{2n+1}}{2n+1}=\frac{1}{x}{\int }_0^x\frac{1}{1-t^2}dt=\frac{1}{2x}\ln \frac{1+x}{1-x}$。

综上，和函数为 $$S(x)=\{\begin{array}{ll}3,& x=0,\\ \frac{1+x^2}{(1-x^2{)}^2}+\frac{1}{x}\ln \frac{1+x}{1-x},& 0<|x|<1.\end{array}$$