2012 年考研数学（一） 第 16 题

二元无条件极值走『驻点 $+$ $AC-B^2$ 判别』两步。指数因子 $e^{-(x^2+y^2)/2}$ 恒正，求驻点时可整体约掉，方程立即简化为 $1-x^2=0$ 与 $xy=0$。得到 $(\pm 1,0)$ 两个驻点后，代入二阶偏导用 Hessian 判别号即可分清极大与极小。

求驻点：$f_x=(1-x^2)e^{-\frac{x^2+y^2}{2}}=0$，$f_y=-xy{e}^{-\frac{x^2+y^2}{2}}=0$。由 $1-x^2=0$ 得 $x=\pm 1$，再由 $-xy=0$ 得 $y=0$。故驻点为 $(1,0)$ 与 $(-1,0)$。

二阶偏导：$f_{xx}=x(x^2-3)e^{-\frac{x^2+y^2}{2}}$，$f_{xy}=y(x^2-1)e^{-\frac{x^2+y^2}{2}}$，$f_{yy}=x(y^2-1)e^{-\frac{x^2+y^2}{2}}$。

在 $(1,0)$：$A=f_{xx}=-2e^{-1/2}$，$B=f_{xy}=0$，$C=f_{yy}=-e^{-1/2}$。$AC-B^2=2e^{-1}>0$ 且 $A<0$，故 $(1,0)$ 为极大值点，极大值 $f(1,0)=e^{-1/2}$。

在 $(-1,0)$：$A=2e^{-1/2}$，$B=0$，$C=e^{-1/2}$。$AC-B^2=2e^{-1}>0$ 且 $A>0$，故 $(-1,0)$ 为极小值点，极小值 $f(-1,0)=-e^{-1/2}$。

综上，极大值为 $f(1,0)=e^{-1/2}$，极小值为 $f(-1,0)=-e^{-1/2}$。