2012 年考研数学（一） 第 15 题

证不等式的通法是『作差构造 $f$、逐阶求导定单调』。本题 $f$ 为偶函数且 $f(0)=f^{\prime }(0)=0$，于是只要证 $f^{\prime \prime }>0$，就能层层递推出正半轴上 $f^{\prime }>0$ 进而 $f\ge 0$。注意 $\frac{4}{(1-x^2{)}^2}$ 在 $(-1,1)$ 上有下界 $4$、而 $1+\cos x$ 有上界 $2$，符号一目了然，这正是选择从二阶导数下手的理由。

分析：作差构造函数，利用高阶导数确定单调性，再由极值证明不等式。

令 $f(x)=x\ln \frac{1+x}{1-x}+\cos x-\frac{x^2}{2}-1$，则 $f(0)=0$，且 $f(-x)=f(x)$ 为偶函数，只需在 $[0,1)$ 上证 $f(x)\ge 0$。

$f^{\prime }(x)=\ln \frac{1+x}{1-x}+\frac{2x}{1-x^2}-\sin x-x$，且 $f^{\prime }(0)=0$。

$f^{\prime \prime }(x)=\frac{4}{(1-x^2{)}^2}-1-\cos x$。当 $-1<x<1$ 时 $\frac{4}{(1-x^2{)}^2}\ge 4$，而 $1+\cos x\le 2$，故 $f^{\prime \prime }(x)>0$。

于是 $f^{\prime }(x)$ 严格单调增。结合 $f^{\prime }(0)=0$：当 $0<x<1$ 时 $f^{\prime }(x)>0$，故 $f(x)$ 在 $[0,1)$ 上单调增；又 $f(0)=0$，得 $f(x)\ge 0$。

由偶函数性质，当 $-1<x<1$ 时 $f(x)\ge 0$，即 $x\ln \frac{1+x}{1-x}+\cos x\ge 1+\frac{x^2}{2}$。证毕。