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2012 年考研数学（一）第 23 题

解答题 · 11 分

设随机变量

X

与

Y

相互独立且分别服从正态分布

N (μ, σ^{2})

与

N (μ, 2 σ^{2})

，其中

σ

是未知参数且

σ > 0

. 记

Z = X - Y

. （I）求

Z

的概率密度

f (z; σ^{2})

；（II）设

Z_{1}, Z_{2}, \dots, Z_{n}

为来自总体

Z

的简单随机样本，求

σ^{2}

的最大似然估计量

\overset{σ}{^}^{2}

；（III）证明

\overset{σ}{^}^{2}

为

σ^{2}

的无偏估计量.

提示 1

（I）独立正态之差仍是正态，只需算

E (Z)

与

D (Z)

就能写出

Z

的分布及密度。

提示 2

（II）写出样本的似然函数、取对数，把

σ^{2}

当作一个整体变量对其求导令零，解出

\overset{σ}{^}^{2}

。

提示 3

（III）无偏即验证

E (\overset{σ}{^}^{2}) = σ^{2}

；用

E (Z_{i}^{2}) = D (Z_{i}) = 3 σ^{2}

（因

E (Z_{i}) = 0

）。

答案与详解

思路（为什么这么做）

第一问抓『独立正态的线性组合仍正态』，把求密度化简为求均值方差

Z \sim N (0, 3 σ^{2})

。求 MLE 时把

σ^{2}

看成单一未知量对

ln L

求导最省事（不要拆成

σ

）。验无偏则回到定义算期望，靠的是

E (Z_{i}^{2}) = D (Z_{i}) = 3 σ^{2}

这一步，把估计量的期望还原成

σ^{2}

。

解答

(I)

X, Y

独立且都服从正态分布，故

Z = X - Y

也服从正态分布。

E (Z) = μ - μ = 0

，

D (Z) = D (X) + D (Y) = σ^{2} + 2 σ^{2} = 3 σ^{2}

，即

Z \sim N (0, 3 σ^{2})

。密度为

f (z; σ^{2}) = \frac{1}{6 π σ} e^{- \frac{z ^{2}}{6 σ ^{2}}}, - \infty < z < + \infty.

(II) 似然函数

L = i = 1 \prod n f (z_{i}; σ^{2}) = (6 π σ^{2})^{- n /2} exp (- \frac{1}{6 σ ^{2}} i = 1 \sum n z_{i}^{2})

。取对数

ln L = - \frac{n}{2} ln (6 π) - \frac{n}{2} ln σ^{2} - \frac{1}{6 σ ^{2}} i = 1 \sum n z_{i}^{2}

。

对

σ^{2}

求导并令其为零：

\frac{d ln L}{d ( σ ^{2} )} = - \frac{n}{2 σ ^{2}} + \frac{1}{6 σ ^{4}} i = 1 \sum n z_{i}^{2} = 0

，解得

σ^{2} = \frac{1}{3 n} i = 1 \sum n z_{i}^{2}

。故最大似然估计量

\overset{σ}{^}^{2} = \frac{1}{3 n} i = 1 \sum n Z_{i}^{2}

。

(III) 由

Z_{i} \sim N (0, 3 σ^{2})

，

E (Z_{i}^{2}) = D (Z_{i}) + [E (Z_{i})]^{2} = 3 σ^{2}

。于是

E (\overset{σ}{^}^{2}) = \frac{1}{3 n} i = 1 \sum n E (Z_{i}^{2}) = \frac{1}{3 n} \cdot n \cdot 3 σ^{2} = σ^{2},

所以

\overset{σ}{^}^{2}

是

σ^{2}

的无偏估计量。

考点：最大似然估计、估计量的评价标准（无偏、有效、一致）、常见连续分布（均匀、指数、正态）

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