2011 年考研数学（一） 第 22 题

约束 $P\{X^2=Y^2\}=1$ 是整题支点：它强制所有 $X^2\ne Y^2$ 的联合概率为 $0$，联合表瞬间只剩几格，再用边缘分布把它们定死。有了联合分布，$Z=XY$ 的分布与 $E(XY)$ 顺手可得，协方差算出为 $0$；顺带体会『不相关不等于独立』这一经典反例。

（Ⅰ） 由 $P\{X^2=Y^2\}=1$ 得 $P\{X^2\ne Y^2\}=0$。当 $X=0$ 时须 $Y=0$，当 $X=1$ 时须 $Y=\pm 1$，故
$$P\{X=0,Y=-1\}=P\{X=0,Y=1\}=P\{X=1,Y=0\}=0.$$
再由边缘分布配平各格，得联合分布律：

$$\begin{array}{cccc}X\backslash Y& -1& 0& 1\\ 0& 0& \frac{1}{3}& 0\\ 1& \frac{1}{3}& 0& \frac{1}{3}\end{array}$$

（Ⅱ） $Z=XY$ 的可能取值为 $-1,0,1$：
$$P\{Z=-1\}=P\{X=1,Y=-1\}=\frac{1}{3},$$
$$P\{Z=0\}=P\{X=0\}+P\{X=1,Y=0\}=\frac{1}{3}+0=\frac{1}{3},$$
$$P\{Z=1\}=P\{X=1,Y=1\}=\frac{1}{3}.$$
即 $Z$ 的分布律为 $Z\sim \left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 1\\ \frac{1}{3}& \frac{1}{3}& \frac{1}{3}\end{array}\right)$。

（Ⅲ） $E(X)=\frac{2}{3}$，$E(Y)=\frac{1}{3}(-1+0+1)=0$，$E(XY)=E(Z)=-1\cdot \frac{1}{3}+0\cdot \frac{1}{3}+1\cdot \frac{1}{3}=0$。故
$$\mathrm{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0-\frac{2}{3}\cdot 0=0,$$
从而 ${\rho }_{XY}=0$。（$X,Y$ 不相关，但由（Ⅰ）知它们并不独立。）