2011 年考研数学（一） 第 23 题

因 ${\mu }_0$ 已知，估计 ${\sigma }^2$ 的最大似然就是对 $\ln L$ 关于 ${\sigma }^2$ 求导这一标准流程，得 ${\hat{\sigma }}^2=\frac{1}{n}\sum (X_i-{\mu }_0{)}^2$。算矩时的关键一步是标准化：$\frac{X_i-{\mu }_0}{\sigma }\sim N(0,1)$ 使其平方服从 ${\chi }^2(1)$，直接调用卡方分布『均值 $1$、方差 $2$』把 $E,D$ 化成简单求和，得无偏且方差 $2{\sigma }^4/n$。

（Ⅰ） 因 ${\mu }_0$ 已知，似然函数
$$L({\sigma }^2)=\prod _{i=1}^n\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}{e}^{-\frac{(x_i-{\mu }_0{)}^2}{2{\sigma }^2}}=(2\pi {\sigma }^2{)}^{-\frac{n}{2}}{e}^{-\frac{1}{2{\sigma }^2}{\sum }_{i=1}^n(x_i-{\mu }_0{)}^2}.$$
取对数：$\ln L=-\frac{n}{2}\ln (2\pi )-\frac{n}{2}\ln {\sigma }^2-\frac{1}{2{\sigma }^2}\sum _{i=1}^n(x_i-{\mu }_0{)}^2$。

令 $\frac{d\ln L}{d({\sigma }^2)}=-\frac{n}{2{\sigma }^2}+\frac{1}{2{\sigma }^4}\sum _{i=1}^n(x_i-{\mu }_0{)}^2=0$，解得 ${\sigma }^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(x_i-{\mu }_0{)}^2$，故最大似然估计量为
$${\hat{\sigma }}^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(X_i-{\mu }_0{)}^2.$$

（Ⅱ）求期望。 因 $E(X_i)={\mu }_0$，$E(X_i-{\mu }_0{)}^2=D(X_i)={\sigma }^2$，故
$$E({\hat{\sigma }}^2)=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}E(X_i-{\mu }_0{)}^2={\sigma }^2,$$
即 ${\hat{\sigma }}^2$ 是 ${\sigma }^2$ 的无偏估计。

求方差。 由 $\frac{X_i-{\mu }_0}{\sigma }\sim N(0,1)$ 知 ${\left(\frac{X_i-{\mu }_0}{\sigma }\right)}^2\sim {\chi }^2(1)$，其方差为 $2$，故 $D(X_i-{\mu }_0{)}^2={\sigma }^4\cdot 2=2{\sigma }^4$。各 $X_i$ 独立，于是
$$D({\hat{\sigma }}^2)=\frac{1}{n^2}\sum _{i=1}^{n}D(X_i-{\mu }_0{)}^2=\frac{1}{n^2}\cdot n\cdot 2{\sigma }^4=\frac{2{\sigma }^4}{n}.$$