2011 年考研数学（一） 第 21 题

矩阵等式的右列恰是左列的倍数，这是明晃晃的暗示——按列拆开就是特征方程 $A\xi =\lambda \xi$，$-1$ 与 $1$ 两个特征对白拿。秩为 $2$ 补上 $\lambda =0$，再靠实对称阵『异特征值特征向量正交』这条独有性质定出第三个特征向量，最后 $A=P\Lambda P^{-1}$ 还原矩阵。

（Ⅰ）把矩阵等式按列拆开，用特征值与特征向量的定义读取信息。 由 $r(A)=2<3$ 知 $|A|=0$，故 ${\lambda }_1=0$ 是 $A$ 的一个特征值。

等式第一列：$A(1,0,-1{)}^T=(-1,0,1{)}^T=-(1,0,-1{)}^T$，故 ${\lambda }_2=-1$，对应特征向量 ${\xi }_2=(1,0,-1{)}^T$。
等式第二列：$A(1,0,1{)}^T=(1,0,1{)}^T$，故 ${\lambda }_3=1$，对应特征向量 ${\xi }_3=(1,0,1{)}^T$。

设 ${\xi }_1=(x_1,x_2,x_3{)}^T$ 为 ${\lambda }_1=0$ 的特征向量。实对称矩阵不同特征值的特征向量正交，故 ${\xi }_1^T{\xi }_2=0,{\xi }_1^T{\xi }_3=0$，即 $\{\begin{array}{l}{x}_1-x_3=0\\ x_1+x_3=0\end{array}$，解得 $x_1=x_3=0$，取 ${\xi }_1=(0,1,0{)}^T$。

故特征值为 ${\lambda }_1=0,{\lambda }_2=-1,{\lambda }_3=1$，全部特征向量为 $k_1(0,1,0{)}^T$、$k_2(1,0,-1{)}^T$、$k_3(1,0,1{)}^T$（$k_1,k_2,k_3$ 为任意非零常数）。

（Ⅱ） 令 $P=({\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3)=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 0& 0\\ 0& -1& 1\end{array}\right)$，则 $P^{-1}AP=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$，故
$$A=P\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)P^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right).$$