2011 年考研数学（一） 第 20 题

突破口是判断两组向量各自的秩。$\alpha$ 组行列式非零 $\Rightarrow$ 它是基 $\Rightarrow \beta$ 必可由 $\alpha$ 表示；而『$\alpha$ 不能由 $\beta$ 表示』只能怪 $\beta$ 组秩不够，于是 $\det (\beta )=0$ 定出 $a$。求具体表示式则是标准的『左块化单位阵、右块读系数』增广消元。

（Ⅰ）先看 $\alpha$ 组。 $|{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3|=\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 3\\ 1& 1& 5\end{array}\right|=1\ne 0$，故 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 线性无关，构成 ${\mathbb{R}}^3$ 的一组基，从而 ${\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3$ 一定可由 $\alpha$ 组线性表示。

而题设 $\alpha$ 组不能由 $\beta$ 组线性表示，故 $\beta$ 组的秩必小于 $\alpha$ 组的秩 $3$，即 ${\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3$ 线性相关，$|{\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3|=0$。计算
$$\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 3\\ 1& 2& 4\\ 1& 3& a\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 3\\ 0& 1& 1\\ 0& 2& a-3\end{array}\right|=(a-3)-2=a-5=0,$$
故 $a=5$。

（Ⅱ） 此时 ${\beta }_3=(3,4,5{)}^T$。对增广矩阵 $({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3\mid {\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3)$ 作初等行变换：
$$\left(\begin{array}{cccccc}1& 0& 1& 1& 1& 3\\ 0& 1& 3& 1& 2& 4\\ 1& 1& 5& 1& 3& 5\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccccc}1& 0& 0& 2& 1& 5\\ 0& 1& 0& 4& 2& 10\\ 0& 0& 1& -1& 0& -2\end{array}\right).$$

读出表示式：
$${\beta }_1=2{\alpha }_1+4{\alpha }_2-{\alpha }_3,{\beta }_2={\alpha }_1+2{\alpha }_2,{\beta }_3=5{\alpha }_1+10{\alpha }_2-2{\alpha }_3.$$